При выполнении сейсмических расчетов в соответствии со стандартом ASCE 4-16 [1] необходимо учитывать эффекты взаимодействия сооружения с грунтовым основанием (SSI) зданий и сооружений АЭС, важных для безопасности. Существуют два основных метода решения данной задачи: прямой метод и метод импедансов. В прямом методе грунт моделируется детально элементами сплошной среды, а в методе импедансов применяются «грунтовые» пружины и демпферы, моделирующие эквивалентную жесткость и затухание. Метод импедансов является эффективным, удобным и часто применяется в расчетах по различным программам: ABAQUS, ANSYS, NASTRAN и др. для проектных целей. Однако эквивалентные характеристики пружин и демпферов определяются для штампа и их использование для реальных зданий АЭС, обладающих податливой фундаментной плитой, возможно только приближенно. Также приближенно учитываются неоднородности в грунте (слоистость, линзы и др.). При выполнении реальных расчетов компенсация названных приближений производится за счет учета вариабельности модуля сдвига в грунте по рекомендациям ASCE 4–16, п. 5.1.7. Для учета податливости фундаментной плиты необходимо выполнить реалистическое распределение эквивалентных жесткостей и затуханий по точкам ее подошвы таким образом, чтобы суммарная по всем точкам распределения жесткость в точности соответствовала эквивалентной жесткости. Суммарное затухание также должно соответствовать эквивалентным затуханиям либо консервативно быть несколько меньше.

В настоящей работе предлагается математический метод решения такой задачи.

Система уравнений движения при сейсмических колебаниях здания имеет вид:

, (1)

где

 – матрица жесткости;

 – матрица демпфирования;

[M] – матрица массы;

 – векторы относительных перемещений, скоростей и ускорений;

– исходная акселерограмма.

В системе уравнений (1)

[K] = [K1] + [K2], (2)

где [K1] и [K2] – парциальные матрицы жесткости сооружения и грунта соответственно;

[C] = [С1] + [С2], (3)

где [С1] – парциальная матрица демпфирования в материале системы, возникающего за счет трения, [С2] – парциальная матрица излучательного или волнового демпфирования, обусловленная оттоком энергии в грунт при колебаниях здания.

Для определения [K2] и [С2] использовались эквивалентные жесткости и затухания из ASCE 4–16. Обозначим  и  компоненты эквивалентной жесткости и эквивалентного затухания для штампа, показанного на рис. 1. Для формирования матриц [K2] и [C2] величины  и  нужно распределить по точкам подошвы фундаментной плиты.

Пусть значения эквивалентных поступательных жесткостей и затуханий при поступательных перемещениях распределяются по произвольному закону z = f(x,y).

Тогда для j-й точки фундаментной плиты выражение для приведенной эквивалентной жесткости можно записать следующим образом:

, где i – x, y, z, (4)

j – 1, …, N, N – число узловых точек на подошве плиты,

ci – константа,

fij(x,y) – значение функции f(x,y) в точке j по направлению i,

ΔSj – приведенная к точке j площадь фундаментной плиты.

Величину константы ci определим из условия:

Формула (7) позволяет определить значение поступательной компоненты жесткости в j-й точке фундаментной плиты при произвольном законе распределения по подошве.

Аналогичное выражение для поступательных компонент затухания:

т. е. суммарные (интегральные) поступательные компоненты жесткости и затухания по всем точкам подошвы фундаментной плиты в точности соответствуют эквивалентным значениям.

Узловые эквивалентные поступательные жесткости и затухания в совокупности создают интегральную угловую жесткость и затухание за счет вращения:

. (12)

Здесь rjx и rjy – компоненты радиус-вектора j-й точки, выходящего из геометрического центра фундаментной плиты (рис. 1).

Интегральные угловые жесткости и затухания из (12) существенно отличаются от эквивалентных. Следует отметить, что если расчет эквивалентных и интегральных характеристик грунта проводить по теории Винклера, учитывающей проседание грунта только под штампом, но не в соседних зонах (рис. 2), то отличия не будет.

Компенсирующая разница в угловых жесткостях и затуханий составит:

Как показали расчетные исследования на типовых конструкциях значения компенсирующих угловых жесткостей (13.1) положительные, а значения компенсирующих угловых затуханий (13.2) отрицательные. Консервативно принимаем:

 (14)

Из (14) получаем выражения для скорректированных эквивалентных затуханий:

Консервативно принимаются минимальные значения из  .

Если L = B, все скорректированные вращательные затухания равны эквивалентным.

Таким образом, компоненты эквивалентных поступательных жесткостей, полученные по (7), распределяются по подошве фундаментной плиты по «седловидному» закону, а компенсирующие угловые жесткости, полученные по (13.1) – равномерно.

По предложенной методике была составлена программа, совместная с ПС ABAQUS, и выполнен ряд проектных расчетов. Результаты расчетов приводились в докладе на конференции [3].

Скорректированные компоненты эквивалентных поступательных затуханий (15), (16), (17) в совокупности создадут интегральные угловые затухания и, как видно из (18), их величины, в зависимости от соотношения сторон штампа, в точности соответствуют эквивалентным, либо будут несколько ниже.

В табл. 2 представлен пример расчета значений жесткости и затуханий в грунте по данной методике для типового здания. Размеры фундамента здания составляют L = 73 м, B = 50 м,а общая масса здания – 110 т.

Из табл. 2 видно, что компенсирующие угловые жесткости имеют существенные значения и их необходимо учитывать, а компоненты скорректированных интегральных затуханий либо соответствуют эквивалентным значениям затуханий, либо консервативно ниже.

Представленный метод учета податливости фундаментной плиты можно применять в расчетах зданий при особых динамических воздействиях: сейсмика, падение самолета и действие воздушной ударной волны с использованием различных методов анализа.

Также предлагается использовать данный подход в стандарте РФ по сейсмостойкости зданий.