Владимир Анатольевич Коротков, канд. техн. наук, главный специалист БКП-2
ул. Бакунинская, д. 7, к. 1, г. Москва, 107996
Тамара Захаровна Югай, старший научный сотрудник
Малая Красносельская ул., д. 2/8, к. 5, г. Москва, 107140
В настоящей работе предлагается математический метод учета податливости фундаментных плит зданий АЭС при динамических воздействиях. Подобный учет во многих случаях анализа позволяет существенно уточнить результаты, а иногда (для конструкций с «отрезанными» внешними стенами) при падении самолета и воздействии воздушной ударной волны он просто необходим.
Представленный метод базируется на применении «грунтовых» пружин и демпферов из ASCE 4-16, специальным образом распределенных по подошве фундаментной плиты здания.
В заключение представлены результаты расчета интегральных характеристик «грунтовых» пружин и демпферов при реалистичном (седловидном) законе их распределения по подошве фундаментной плиты типового здания.
The present article proposes a mathematical method for factoring in the compliance of foundation slabs in NPP structures under dynamic loading. In many cases, such an approach allows the analysis results to be significantly improved, whereas sometimes it is simply a necessary part of the procedure, i.e., when structures having “detached” exterior walls are exposed to an air shock wave generated by an aircraft crash.
The presented method applies soil springs and dampers as per ASCE 4-16, specially distributed along the foundation slab bottom of a building.
The conclusion presents the results of calculating the integral characteristics of soil springs and dampers according to the realistic (saddle-shaped) law of their distribution along the foundation slab bottom of a typical building.
При выполнении сейсмических расчетов в соответствии со стандартом ASCE 4-16 [
В настоящей работе предлагается математический метод решения такой задачи.
Система уравнений движения при сейсмических колебаниях здания имеет вид:
, (1)
где
– матрица жесткости;
– матрица демпфирования;
[M] – матрица массы;
– векторы относительных перемещений, скоростей и ускорений;
– исходная акселерограмма.
В системе уравнений (1)
[K] = [K1] + [K2], (2)
где [K1] и [K2] – парциальные матрицы жесткости сооружения и грунта соответственно;
[C] = [С1] + [С2], (3)
где [С1] – парциальная матрица демпфирования в материале системы, возникающего за счет трения, [С2] – парциальная матрица излучательного или волнового демпфирования, обусловленная оттоком энергии в грунт при колебаниях здания.
Для определения [K2] и [С2] использовались эквивалентные жесткости и затухания из ASCE 4–16. Обозначим и компоненты эквивалентной жесткости и эквивалентного затухания для штампа, показанного на рис. 1. Для формирования матриц [K2] и [C2] величины и нужно распределить по точкам подошвы фундаментной плиты.
Пусть значения эквивалентных поступательных жесткостей и затуханий при поступательных перемещениях распределяются по произвольному закону z = f(x,y).
Тогда для j-й точки фундаментной плиты выражение для приведенной эквивалентной жесткости можно записать следующим образом:
, где i – x, y, z, (4)
j – 1, …, N, N – число узловых точек на подошве плиты,
ci – константа,
fij(x,y) – значение функции f(x,y) в точке j по направлению i,
ΔSj – приведенная к точке j площадь фундаментной плиты.
Величину константы ci определим из условия:
Формула (7) позволяет определить значение поступательной компоненты жесткости в j-й точке фундаментной плиты при произвольном законе распределения по подошве.
Аналогичное выражение для поступательных компонент затухания:
т. е. суммарные (интегральные) поступательные компоненты жесткости и затухания по всем точкам подошвы фундаментной плиты в точности соответствуют эквивалентным значениям.
Таблица 1
Значения коэффициентов при нагружении сосредоточенной силой P0
Table 1
Values of the coefficients under concentrated force loading P0
L/B | a00 | a20 | a02 | a40 | a22 | a04 | a60 | a42 | a24 | a06 |
1 | 0.556 | 0.267 | 0.267 | 0.3 | −0.017 | 0.301 | 0.501 | 0.032 | 0.032 | 0.501 |
1.5 | 0.561 | 0.223 | 0.301 | 0.268 | 0.015 | 0.319 | 0.470 | −0.060 | 0.126 | 0.530 |
2 | 0.565 | 0.196 | 0.322 | 0.234 | 0.029 | 0.332 | 0.433 | −0.054 | 0.129 | 0.550 |
3 | 0.581 | 0.161 | 0.339 | 0.185 | 0.061 | 0.345 | 0.353 | 0.020 | 0.130 | 0.567 |
5 | 0.597 | 0.134 | 0.355 | 0.139 | 0.078 | 0.356 | 0.247 | 0.074 | 0.118 | 0.593 |
7 | 0.607 | 0.120 | 0.363 | 0.115 | 0.074 | 0.363 | 0.196 | 0.090 | 0.113 | 0.606 |
10 | 0.616 | 0.108 | 0.369 | 0.094 | 0.069 | 0.370 | 0.155 | 0.102 | 0.105 | 0.616 |
Узловые эквивалентные поступательные жесткости и затухания в совокупности создают интегральную угловую жесткость и затухание за счет вращения:
. (12)
Здесь rjx и rjy – компоненты радиус-вектора j-й точки, выходящего из геометрического центра фундаментной плиты (рис. 1).
Рис. 1. Прямоугольный штамп
Fig. 1. Rectangular plate
Интегральные угловые жесткости и затухания из (12) существенно отличаются от эквивалентных. Следует отметить, что если расчет эквивалентных и интегральных характеристик грунта проводить по теории Винклера, учитывающей проседание грунта только под штампом, но не в соседних зонах (рис. 2), то отличия не будет.
Рис. 2. Зоны проседания грунта под штампом
Fig. 2. Soil subsidence areas under the plate
Компенсирующая разница в угловых жесткостях и затуханий составит:
Как показали расчетные исследования на типовых конструкциях значения компенсирующих угловых жесткостей (13.1) положительные, а значения компенсирующих угловых затуханий (13.2) отрицательные. Консервативно принимаем:
(14)
Из (14) получаем выражения для скорректированных эквивалентных затуханий:
Консервативно принимаются минимальные значения из .
Если L = B, все скорректированные вращательные затухания равны эквивалентным.
Таким образом, компоненты эквивалентных поступательных жесткостей, полученные по (7), распределяются по подошве фундаментной плиты по «седловидному» закону, а компенсирующие угловые жесткости, полученные по (13.1) – равномерно.
По предложенной методике была составлена программа, совместная с ПС ABAQUS, и выполнен ряд проектных расчетов. Результаты расчетов приводились в докладе на конференции [
Скорректированные компоненты эквивалентных поступательных затуханий (15), (16), (17) в совокупности создадут интегральные угловые затухания и, как видно из (18), их величины, в зависимости от соотношения сторон штампа, в точности соответствуют эквивалентным, либо будут несколько ниже.
В табл. 2 представлен пример расчета значений жесткости и затуханий в грунте по данной методике для типового здания. Размеры фундамента здания составляют L = 73 м, B = 50 м,а общая масса здания – 110 т.
Таблица 2
Пример расчета грунтовых характеристик для типового здания
Table 2
Example of soil characteristics calculated for a typical building
Эквивалентные жесткости, кН/м, кН⋅м | Эквивалентные затухания, кН·с/м, кН⋅с⋅м | Скорректированные интегральные затухания, кН·с/м, кН⋅с⋅м | |||
Gmin , VS30 = 927 м/с | |||||
Kx, | 3.44E + 08 | bx | 7.22E + 06 (59 %) | bx | 4.98E + 06 (41 %) |
Ky, | 3.64E + 08 | by | 7.65E + 06 (60 %) | by | 4.98E + 06 (40 %) |
Kz | 4.13E + 08 | bz | 1.28E + 07 (95 %) | bz | 9.53E + 06 (71 %) |
Kφx | 2.65E + 11 | bφx | 2.14E + 09 (25 %) | bφx | 2.14E + 09 (25 %) |
Kφy | 4.55E + 11 | bφy | 4.90E + 09 (37 %) | bφy | 4.23E + 09 (32 %) |
Kφz | 5.24E + 11 | bφz | 3.33E + 09 (27 %) | bφz | 3.33E + 09 (27 %) |
Компенсирующие угловые жесткости, кН⋅м | |||||
ΔCφx | 9.845·1010 | ||||
ΔCφy | 2.443·1011 | ||||
ΔCφz | 1.991·1011 |
Из табл. 2 видно, что компенсирующие угловые жесткости имеют существенные значения и их необходимо учитывать, а компоненты скорректированных интегральных затуханий либо соответствуют эквивалентным значениям затуханий, либо консервативно ниже.
Представленный метод учета податливости фундаментной плиты можно применять в расчетах зданий при особых динамических воздействиях: сейсмика, падение самолета и действие воздушной ударной волны с использованием различных методов анализа.
Также предлагается использовать данный подход в стандарте РФ по сейсмостойкости зданий.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.