Тонкостенные пластинки как элементы конструкции имеют широкое применение в современном строительном деле, машиностроении, судостроении, самолетостроении и других областях современной техники. В современных конструкциях большое практическое применение имеют упругие изотропные и анизотропные пластинки, находящиеся под равномерно распределенные усилиям с интенсивностью σφ. В области исследований прочности и устойчивости прямоугольной пластинки следует отметить работы С.П. Тимошенко [1], С.А. Амбарцумяна [2] и др. В области оптимального проектирования тонкостенных элементов конструкций, а именно в задачах термоупругой устойчивости пластинки, недостаточно исследованы вопросы определения оптимального расположения опор. Вопросы оптимального расположения опор в пластинке рассматривались в работах В.Ц. Гнуни [3], М.В. Белубекяна [4] и А.В. Элояна [5][6].

Пусть прямоугольная пластинка размерами x ∈ [–a/2; a/2], y ∈ [0, b], z ∈ [−h/2; z/2] отнесена к прямоугольной системе декартовых координат Oxyz так, что координатная плоскость z = 0 совпадает со срединной плоскостью пластинки. Предполагается, что продольные края пластинки свободно оперты, а поперечные опоры расположены на расстоянии c от срединной линии x = 0 пластинки, т. е. по направлениям x = –c и x = +c (рис. 1).

В срединной плоскости пластинки по направлениям ее сторон 0x действуют равномерно распределенные нормальные механические усилия интенсивностью σφ и температурное поле.

При одновременном воздействии нормальных усилий и температурного поля ставится задача оптимального выбора параметра c, характеризующего расположение поперечных опор, обеспечивающее наибольшее значение критической нагрузки.

Ввиду симметрии пластинки относительно плоскости (x = 0) исследуется случай симметричной потери устойчивости и, следовательно, рассматривается устойчивость правой половины пластины 0 ≤ x ≤ 0,5a. При этом решаются дифференциальные уравнения устойчивости для каждого из участков 0≤ x ≤ с и −c ≤ x ≤ 0,5 a−c, учитывающие наличие стационарного температурного поля [4].

(1)

Здесь характеризует температурную нагрузку;

D = Eh3/12(1−ϑ2) – цилиндрическая жесткость пластинки;

E – модуль упругости;

ϑ – коэффициент Пуассона;

α – коэффициент температурного линейного расширения.

Выражения для моментов и перерезывающих усилий и влияние температуры (Re) не зависит от координат. В этом частном случае температура не входит в уравнение изгиба (1) и в формулы для перерезывающих усилий из (1). Вследствие температуры появляются изгибающие моменты, что видно из выражений (2) для Mx(k), My(k).

(2)

В дальнейшем предполагается, что кромки пластинки y = 0 и y = b свободно оперты (шарнирно закреплены, т. е. имеют место граничные условия)

(3)

В этом случае при условиях (2), с учетом Re = 0 решение уравнения (1) удобнее представить в виде

wk(x,y)=w̅k(x,y)+wt

Таким образом, задача приводится к решению уравнения

(4)

при граничных условиях

(5)

Допустим, что изменение температуры по толщине пластинки следует линейному закону и что в плоскостях, параллельных поверхностям пластинки, температура остается постоянной.

Тогда граничные условия задачи запишутся в виде:

Для шарнирного опирания на продольных краях y = 0, y = b.

(6)

Для сопряжения термоупругого поля на поперечной опоре x = 0

(7)

Для свободного края x = 0,5a – c

(8)

Для сопряжения термоупругого поля на поперечной плоскости симметрии (в случае симметричной потери устойчивости) x = −c

(9)

Допустим, что изменение температуры по толщине пластинки следует линейному закону и в плоскостях, параллельных поверхностям пластинки, температура остается постоянной.

В этом случае

Прогибы пластинки wk(x, y), (k = 1,2) представляются в виде:

wk(x, y) = w̅k(x, y) + wt(x, y),

где w̅k(x, y) – прогибы на каждом из участков пластинки от равномерно распределенных нормальных усилий;

wt(x, y) – функция прогиба от действия температуры, которая предполагается изменяющейся по параболическому закону wt(x, y) = 0,5y (b – y)Rt.

Решение уравнения (4), удовлетворяющее условиям (5)–(7), принимается в виде:

(10)

где

Удовлетворение граничных условий (5) – (7) приводит к системе однородных линейных уравнений относительно коэффициентов Akn, Bkn, Ckn, Dkn. Условия существования решения этой системы приводит к следующим уравнениям, где

(11)

(12)

Задача оптимального расположения поперечных опор пластинки сводится к определению параметра α, обеспечивающего наибольшее значение критического напряжения при заданных габаритных размерах пластинки а/b, температуры и равномерно распределенных нормальных усилий.

Численные решения выполнены для случая, когда сжимающая нагрузка действует только в направлении оси Ox.

В уравнениях (11) и (12) приняты следующие обозначения α = c/a, (0 ≤ α ≤ 0,5).

Вычислены оптимальные значения параметра α = c/a, соответствующие значениям σ̅, h̅ для различных отношений сторон λ = a/b пластинки и при заданных значениях температуры, изменяющейся от –50 до 300 °С, эти значения приведены в таблице.

Как показывают расчеты, оптимальное расположение опор для значений λ = a/b–1/2,1 получается при σ̅ = 3β и зависит от температуры пластины.

На рис. 2 показаны графики изменения критических напряжений в зависимости от расположения опор и температуры (параметр α = 0,37) при λ = a/b = 1.

Как следует из таблицы, наибольшее значение критической нагрузки для всех случаев отношения сторон пластинки получается при σ̅ = 3β, h̅ = 0,01, w* = 1,772, α = 0,37, Т = 300 °С, обеспечивающее наибольшее значение критической нагрузки.