Ребристые железобетонные конструкции перекрытий находят широкое применение в современном монолитном строительстве. Плиты, усиленные снизу монолитно связанными с ними балками, по сравнению с безбалочными конструкциями позволяют перекрывать большие пролеты, при наличии главных балок позволяют образовывать рамы несущего каркаса здания, придавать ему большую жесткость и устойчивость. Эффективной пространственно работающей конструкцией является часторебристое перекрытие кессонного типа. В качестве примера такой конструкции в Москве можно отметить павильон № 29 ВДНХ «Цветоводство и озеленение», построенный в 1969–1971 гг. В настоящее время в нашей стране при строительстве ребристых перекрытий получают распространение опалубочные системы Skydome, Holedeck, Победа и другие.

В связи с принятием норм СП 385.1325800.2018 «Защита зданий и сооружений от прогрессирующего обрушения. Правила проектирования. Основные положения» на проектирование зданий и сооружений нормального и повышенного уровней ответственности в целях их защиты от прогрессирующего обрушения пространственно работающие конструкции будут получать распространение [1]. Пространственные системы с точки зрения строительной механики являются многократно статически неопределимыми, и их расчет без использования современных компьютерных программ, основанных на методе конечных элементов (МКЭ), затруднителен или невозможен. Кроме этого, в соответствии с современными требованиями градостроительного законодательства (Градостроительный кодекс РФ от 29.12.2004 № 190-ФЗ [2], СП 333.1325800.2020 «Информационное моделирование в строительстве. Правила формирования информационной модели объектов на разных стадиях жизненного цикла» [3]) прочностной расчет строительных конструкций объектов, подлежащих экспертизе, в скором времени должен будет выполняться по BIM технологии путем создания цифровой информационной модели здания. В соответствии с ч. 12 ГОСТ 27751-2014 «Надежность строительных конструкций и оснований. Основные положения» при проектировании объектов должен проводиться контроль качества проектной продукции, минимальные требования которого включают в себя проверку адекватности расчетных моделей, их точность, проведение параллельных расчетов с использованием независимо разработанных сертифицированных программных средств и другие требования [4]. Расчет на электронно-вычислительной машине (ЭВМ) осуществляется в программных комплексах, реализующих метод конечных элементов, при котором вычисленные в элементах усилия или напряжения могут оказаться недостоверными, и причин этому достаточно. Так, например, создав сетку конечных элементов (КЭ) неверной густоты, расчетчик получит результат, значительно отличающийся от правильного [5–10].

Современные программные комплексы включают в себя широкий набор различных типов конечных элементов, из которых можно создать ребристую конечно-элементную модель (КЭМ). Авторами работ [7][8] указывается, что «При составлении компьютерной модели комбинированных систем (плита, подпертая ребрами; плоские или пространственные рамно-связевые системы; плита, опирающаяся на вертикальные стержни и др.) могут возникнуть различные трудности». По состоянию на 2022 г. в работе [11] отмечается, что на современном этапе развития компьютерных расчетов при моделировании ребристых конструкций «До сих пор не предложена оптимальная расчетная схема, с одной стороны, обладающая достаточной простотой для проведения инженерного анализа, а с другой стороны, позволяющая с большой точностью отражать особенность работы элементов перекрытия». Имеющиеся в литературе данные расчета ребристых железобетонных конструкций показывают, что в зависимости от созданной конечно-элементной модели усилия в балках могут существенно отличаться [11–14]. Например, при расчете железобетонных кессонных перекрытий в моделях, в которых полка плиты задается оболочечными конечными элементами, а ребра стержневыми элементами, отнесенными от полки жесткой вставкой, максимальные отклонения усилий в балках, полученных методом конечных элементов от аналитического расчета, составляют: 50 [12], 40 [13], 22,1 % [14].

В работе [11] сравниваются продольные относительные деформации по высоте поперечного сечения балок, значения которых получены при помощи четырех конечно-элементных моделей расчета ребристой шарнирно опертой по контуру плиты 6,0 × 12,0 м. Первая модель представляет собой конструкцию, состоящую из стержневых конечных элементов – балок таврового сечения. Вторая модель состоит из оболочек, моделирующих плиту, и стержней, выполняющих функцию ребер. Соединение элементов выполнено абсолютно жесткими телами. В третьей модели как плита, так и ребра представлены оболочками, соединенными абсолютно жесткими телами. Четвертая модель выполнена в виде массивного тела, состоящего из объемных конечных элементов. В соответствии с выводом проведенного численного эксперимента наименьшие деформации получены в четвертой модели, состоящей из объемных конечных элементов и принятой автором за эталон. Наиболее близкой к четвертой модели оказалась самая простая первая модель, состоящая из стержней. Отклонения деформаций в растянутой зоне составляют +3,9 %, в сжатой +9,2 %. Наибольшие отклонения от четвертой модели показала вторая модель, в растянутой зоне расхождения составляют +72 %, в сжатой +75,3 %. Отклонения третьей модели в растянутой зоне +44,5 %, в сжатой +42,7 %.

Для обоснования надежности расчетов, созданных моделей метода конечных элементов, в п. 6 ГОСТ Р 57700.10-2018 «Численное моделирование физических процессов. Определение напряженно-деформированного состояния. Верификация и валидация численных моделей сложных элементов конструкций в упругой области» [15] перечислены требования к порядку верификации и валидации расчетной модели для численного моделирования в упругой области напряженно-деформированного состояния (НДС) сложных элементов конструкций. Одним из методов контроля полученных данных по МКЭ является расчет конструкции при помощи разных моделей.

Данная работа является продолжением изучения аналитического метода расчета прямых кессонных железобетонных перекрытий и их моделирования в вычислительном комплексе SCAD [16][17]. Ранее рассматривались стержневые конечно-элементные модели, которые обладают как достоинствами, так и недостатками [14][17]. Известный аналитический метод расчета кессонных перекрытий уточнен, в формулы определения составляющих общей нагрузки, приходящиеся на ортогональные балки, введены жесткости. Стержневые конечно-элементные модели показали хорошую сходимость с уточненным аналитическим методом расчета, однако есть предположение, что данные модели не в полной мере учитывают пространственную работу кессонной конструкции. В работах [11][18][19] при расчете железобетонных конструкций рассматриваются пространственные конечно-элементные модели, состоящие из объемных, плоских и линейных элементов. Отмечается, что при помощи моделей, решение которых основано на объемной задаче теории упругости, получается близкая к действительности картина НДС. В работе [21] при анализе причин обрушения конструкций покрытия СОК «Трансвааль-парк» отмечается, что критические зоны стыковки ребер и скорлупы необходимо изучать на объемных бетонных элементах, а тестовые расчеты показали адекватность объемной модели даже при одном слое элементов по толщине. В то же время объемные модели характеризуются высокой трудоемкостью их создания, большой размерностью задачи и сложностью анализа полученного результата [6][11][18][19].

Методика выполнения работы предусматривает сравнение усилий – изгибающих моментов, полученных уточненным аналитическим способом, с учетом пролетов, жесткости конструкции и методом конечных элементов в вычислительном комплексе SCAD во всех пролетных балках кессонного перекрытия размером в плане 12,0 × 18,0 м с кессонами 1,5 × 2,25 м (по осям).

Целью работы является поиск простой и наиболее точной конечно-элементной модели для расчета ребристого железобетонного кессонного перекрытия, а также выявление теоретических резервов несущей способности по изгибающему моменту у стержневой модели при сравнении ее с объемной моделью.

За основу численного эксперимента принята конструкция кессонного перекрытия размером в плане (Lx × Ly) 12,0 × 18,0 м с кессонами 1,5 × 2,25 м (по осям) (рис. 1) как наиболее сложная для аналитического расчета, данные которой частично представлены в работе [17]. Высота перекрытия составляет 500 мм, толщина полки – 80 мм, ширина ребер балок – 250 мм. Конструкция запроектирована из бетона класса B25.

Выполним аналитический расчет в соответствии с теорией, учитывающей пролеты конструкции Lx и Ly, относительную жесткость балок Dx и Dy. Жесткость балок Bx и By определена в вычислительном комплексе SCAD. Рассматриваем пролетные балки Б1X, Б2X, Б3X, Б4X, Б1Y, Б2Y, Б3Y, Б4Y (рис. 1).

В соответствии с требованиями п. 6.2.5 СП. 430.1325800.2018 «Монолитные конструктивные системы. Правила проектирования» [20] и п. 2.1.1.1 Методического пособия [22] для учета ползучести бетона и наличия трещин, как и в работе [17], начальный модуль упругости бетона умножался на коэффициент 0,2 для участков с трещинами (пролетные участки) и 0,3 для участков без трещин (опорный контур размером 0,25 × 0,5(h) м).

Максимальные изгибающие моменты в балках, расположенных вдоль осей X и Y, определяются по формулам:

𝑀𝑥𝑚𝑎𝑥 = α1 × 𝑞𝑥 × 𝑎 × 𝐿2𝑥 × 𝑛𝑥,(1)𝑀y𝑚𝑎𝑥 = α2 × 𝑞y × b × 𝐿2y × 𝑛y,(2)

где α1 и α2 – коэффициенты, зависящие от характера распределения нагрузки и вида опорных закреплений. При равномерно распределенной нагрузке на перекрытие и шарнирно опертом контуре α1 = α2 = 0,125; a и b – шаг балок; nx и ny  – коэффициенты пропорциональности, зависящие от расположения балок в перекрытии.

Составляющие общей нагрузки, приходящиеся на балки qx + qy = q, расположенные вдоль осей X и Y, зависят от размеров пролетов перекрытия Lx и Ly и относительной жесткости Dx и Dy отдельных центральных ортогональных балок, равноотстоящих друг от друга с жесткостью Bx и By.

Bx = E × Ix,(3)

By = E × Iy,(4)

где Е – модуль упругости материала;

Ix и Iy – моменты инерции балок вдоль осей X и Y.

,(5)

.(6)

Относительная жесткость балок с учетом коэффициентов редуцирования:

,(7)

,(8)

где Bx и By – жесткость при изгибе каждой из балок вдоль осей X и Y;

a и b – шаг балок.

Составляющие общей нагрузки, приходящиеся на балки:

,(9)

,(10)

Балка Б1Х

Коэффициент пропорциональности, учитывающий расположение балки Б1Х от опорного контура вдоль оси Y.

,(11)

,(12)

Пролетный изгибающий момент

.(13)

Балка Б2Х

,(14)

,(15)

.(16)

Балка Б3Х

,(17)

,(18)

.(19)

Балка Б4Х

.(20)

Балка Б1Y

Коэффициент пропорциональности, учитывающий расположение балки Б1Y от опорного контура вдоль оси X.

,(21)

,(22)

.(23)

Балка Б2Y

,(24)*

,(25)

.(26)

Балка Б3Y

,(27)

,(28)

.(29)

Балка Б4Y

.(30)

Результаты аналитического расчета представлены в табл. 2.

Выполним расчет конструкции на ЭВМ в вычислительном комплексе SCAD в линейной постановке задачи как основного исследовательского инструмента строительной механики [23], но с учетом коэффициентов редуцирования начального модуля упругости бетона, учитывающих его ползучесть и трещинообразование [22].

Для создания необходимой густоты сетки конечных элементов твердотельной модели обратим внимание на ряд требований технических норм и рекомендаций специалистов по МКЭ. В соответствии с пп. 5.3.1, 5.3.3 ГОСТ Р 57700.10-2018 «Численное моделирование физических процессов. Определение напряженно-деформированного состояния. Верификация и валидация численных моделей сложных элементов конструкций в упругой области» не допускается при генерации КЭМ с применением твердотельных элементов использовать для тонкостенных конструкций менее трех элементов по толщине, нежелательно использовать тетраэдральные элементы первого порядка при проведении численного моделирования в 3D-постановке [15]. Точность расчета зависит не только от типа конечного элемента, но и от способа расположения конечных элементов и их ориентации по отношению к потокам основных напряжений [5]. При назначении расчетной сетки предпочтение нужно отдавать равносторонним элементам (равносторонний треугольник, квадрат, равносторонний тетраэдр, куб) [6–10]. Если не получается оптимальное разбиение, то для четырехугольных элементов следует ограничить их стремление к «игольчатой форме». Вытянутость четырехугольников рекомендуется ограничить в пределах 0,25–1, а рекомендуемый коэффициент формы должен быть 1–4 [10].

Выполняя данные рекомендации, в «ручном» режиме для объемной модели создана регулярная сетка конечных элементов из пространственного изопараметрического восьмиузлового конечного элемента № 36 с местными осями X1, Y1, Z1, совпадающими с глобальной системой координат X, Y, Z. Полка по высоте разбита на три параллелепипеда размером 41,667(x1) × 41,667(y1) × 26,667(z1) мм. Ребра состоят из элементов размером 41,667(x1) × 41,667(y1) × 42(z1) мм. Равномерно распределенная нагрузка q = 1 Т/м2 прикладывалась двумя способами: на верхнюю полку конструкции и к нижней грани балок. В первом случае сверху полки по объемным элементам уложена «пленка» из оболочечных конечных элементов КЭ № 41 толщиной 1 мм и размером в плане 41,667 × 41,667 мм с физико-механическими характеристиками, соответствующими бетону конструкции. Во втором случае аналогичная «пленка», работающая по биссектрисной схеме излома, прикреплялась к нижней грани балок [24]. При расчете конструкции в протоколе выполнения расчета уведомление о геометрически изменяемой системе отсутствовало. 3D-модель представлена на рис. 2.

Для объемной модели, состоящей только из одного материала, в нашем случае бетона, величины изгибающих моментов MБi,x, MБi,y в балках, расположенных вдоль осей X и Y, определяются следующим образом [19, с. 257].

,(31)

,(32)

,(33)

,(34)

,(35)

,(36)

где Ix и Iy – моменты инерции балок;

h – высота конструкции;

n – количество анализируемых конечных элементов;

σxbt,max и σybt,max – усредненные максимальные напряжения растяжения в нижней крайней фибре бетона;

σxbc,max, σybc,max – усредненные максимальные напряжения сжатия в верхней крайней фибре бетона.

Важным является выбор анализируемого поперечного сечения балок, так как в местах их пересечения имеет место значительный разброс величин напряжений. Стабильность напряжений можно выявить по изолиниям напряжений (рис. 3). Определив необходимое поперечное сечение, начинаем изучать интересующие нас напряжения с максимальным значением во всех конечных элементах нижней, а затем верхней зон балок (рис. 4–9). В случае приложения нагрузки на верхнюю полку конструкции напряжения в консольных участках тавровых балок увеличиваются. Это связано с суммированием напряжений, возникающих от изгиба балок и изгиба полки, опирающейся на ребра. Анализ НДС полки должен включать в себя комбинации загружений (по всей площади, в четных пролетах, в нечетных пролетах, в шахматном порядке, смежные пролеты и др.). В случае отсутствия в анализируемом месте нагрузки на полку напряжения от ее изгиба по причине многопролетности полки могут оказаться другого знака. Поэтому мы должны учитывать в расчете только напряжения от изгиба балок. Для определения напряжений по сечению тавров без учета изгиба полок применялся второй вариант приложения нагрузки к нижним поверхностям балок (рис. 8, 9). Сравнение полученных данных позволило сделать вывод, что в сжатой зоне над ребрами балок напряжения по первой и второй схемам загружений близки друг другу. При второй схеме загружения в консольных участках тавров напряжения изменяются, к середине пролета конструкции увеличиваются, к опоре уменьшаются, но их среднее арифметическое значение примерно равно напряжениям над ребрами балок. Эти значения мы используем в расчете. Усредненные максимальные величины напряжений в верхних и нижних фибрах бетона балок представлены в табл. 1.

Определение изгибающих моментов в балках. Моменты инерции Ix и Iy определены в стержневой конечно-элементной модели ВК SCAD работы [17].

Балка, расположенная вдоль оси X: Ix = 578 423,68 см4.Балка, расположенная вдоль оси Y: Iy = 510 750 см4.

Балка Б1X

,(37)

Балка Б2X

,(38)

Балка Б3X

,(39)

Балка Б4X

,(40)

Балка Б1Y

,(41)

Балка Б2Y

,(42)

Балка Б3Y

,(43)

Балка Б4Y

.(44)

Прогиб центра перекрытия стержневой конечно-элементной модели составил f = 144 мм,модели из объемных КЭ f = 125 мм, что можно объяснить влиянием жесткости мест пересечения балок. В стержневой модели это можно учесть, установив в узлы балок жесткие вставки.

Данные аналитического расчета и компьютерных моделей представлены в табл. 2.