Для реализации поставленной цели предварительно найдем жесткость упругоподатливой опоры, моделирующей жесткость подкрановой балки методом сил.
Расчетная схема подкрановой неразрезной четырехпролетной балки без упругоподатливой опоры и с ее учетом представлены на рис. 1 и 2 соответственно.
Рис. 1. Расчетная схема подкрановой балки без учета ее жесткостиFig. 1. Crane girder structural design without considering its stiffness
Рис. 2. Расчетная схема подкрановой балки для определения жесткости упругоподатливой опорыFig. 2. Crane girder structural design for determining stiffness of yielding support
Определение жесткости подкрановой балки (рис. 2) сводится к нахождению податливости элементов системы.
На данную четырехпролетную подкрановую балку наложено 5 связей (4 опоры, дающие реакцию в вертикальном направлении, и одна по горизонтали). Система дважды статически неопределима, поэтому для нахождения неизвестных недостаточно одних лишь уравнений статики. Поскольку система симметрична относительно точки приложения силы. Рассматривая систему с этой позиции, разрежем балку по центральному сечению и отбросим правую часть. Возникают три силовых фактора: продольная сила реакции N, вертикальная сила реакции Q и момент R. В силу симметричности системы и симметрии приложения нагрузки кососимметричный фактор Q равняется нулю; N также равняется нулю из уравнения статики. Таким образом, если рассматривать систему, разрезав ее пополам, получается система один раз статически неопределима (рис. 3). Для раскрытия этой неопределимости используем метод сил, чтобы найти все неизвестные реакции.
Рис. 3. К расчету подкрановой балки методом силFig. 3. Calculation of crane girder by force method
Неизвестный силовой фактор R найдем из канонического уравнения метода сил [
Рис. 4. Эпюра от единичного моментаFig. 4. Unit moment diagram
Эпюра от заданной силы P/2 представлена на рис. 5.
Рис. 5. Эпюра от заданной силы P/2Fig. 5. Diagram due to given force P/2
Записываем каноническое уравнение метода сил и по правилу Верещагина определяем коэффициенты δ11 и δ1P:
δ1F + R × δ11= 0;
δ11 =
δ1P = –,
где l – длина подкрановой балки;
EЈ – жесткость балки;
c – коэффициент податливости упругой опоры.
Неизвестный силовой фактор R равняется:
R = –.
Перемещение в центральной точке равняется P × c (осадка упругих опор). Приложим силу в центре, то есть ½ P к отброшенной части симметричной заданной системы. Эпюра от единичной силы ½ P представлена на рис. 6.
Рис. 6. Эпюра от единичной силы P/2Fig. 6. Diagram due to unit force P/2
Далее решаем интеграл Мора графически по правилу Верещагина:
ω = δ22 × P + δ21 × R
δ22 =
δ21 =δ1P
ω = δ22 × P + δ21 × R = = P × c.
После преобразований получим уравнение:
7 × l 6 – (252 × EJ 2 × c2 + 84 × EJ × l3 × c).
Найдем с по формуле для корней и отбросим корень с отрицательной частью. В результате податливость С подкрановой балки равняется:
С =,
Жесткость, j – обратная величина податливости:
j =.
Решение задачи об определении критических сил методом перемещений сводится к отысканию минимального корня уравнения устойчивости, получаемого приравниванием к нулю определителя. Составим расчетную схему колонны с учетом жесткости подкрановой балки промздания и построим эпюры методом перемещений [
Рис. 7. Расчетная схема колонныFig. 7. Column structural design
Запишем систему канонических уравнений метода перемещений с учетом упругоподатливой опоры, используя критические табличные параметры φi(v) и ηi(v) [
r11Z1 + r12Z2 + R1p = 0
r21Z1 + r22Z2 + R2p= 0
r11 = 3(EJв/Lв) × φ1(ν) + 4(EJн/Lн) × φ2(ν)
r12 = 6(EJH /LH2) × φ4(ν) – 3(EJв/Lв2) × φ1(ν) r22 = 3(EJв/Lв3) × η1(ν) + 12(EJH /LH3) × η2(ν) + D == 0 r11 × r22 – r122 = 0
Без учета жесткости подкрановой балки также составим канонические уравнения метода перемещений и определитель устойчивости D1 с использованием критических параметров:
r11 = 3(EJв/Lв) × φ1(ν) + 4(EJн/Lн) × φ2(ν)
r12 = 6(EJH /LH2) × φ4(ν) – 3(EJв/Lв2) × φ1(ν) r22C = 3(EJв/Lв3) × η1(ν) + 12(EJH /LH3) × η2(ν) D1 == 0 r11 × r22C – r122 = 0
После решения определителей устойчивости D и D1 и нахождения критических сил по критическому параметру был использован запрограммированный циклический алгоритм в программном комплексе Mathcad.
Для решения сложного нелинейного уравнения устойчивости при раскрытии определителя D в программном комплексе Mathcad находились корни с помощью метода деления отрезка пополам (метод бисекции) – один из простейших методов нахождения корней нелинейных уравнений. Блок-схема итерационного метода представлена на рис. 8.
Рис. 8. Блок-схема итерационного методаa и b – концы интервала – величины v; f(x) – правая часть уравнения;ε – точность вычислений; x’ – корень решения нелинейного уравнения
Fig. 8. Schematic diagram of iteration methoda and b – the values of the interval extremities v;f(x) – the right part of the equation;ε – calculation accuracy; x’ – the root of the nonlinear equation solution
Для реализации дальнейших расчетов была составлена блок-схема, используемая в качестве алгоритма в программном комплексе Mathcad (рис. 9).
Рис. 9. Блок-схемаFig. 9. Schematic diagram
В результате были получены графики зависимостей коэффициентов приведенной длины от отношения критических сил, моментов инерции и площадей сечения (рис. 10–12).
Рис. 10. Зависимость коэффициентов приведенной длины от отношения критических силFig. 10. Dependence of effective length coefficients on critical forces ratio
Рис. 11. Зависимость коэффициентов приведенной длины от отношения моментов инерцииFig. 11. Dependence of effective length coefficients on inertia ratio
Рис. 12. Зависимость коэффициентов приведенной длины от отношения площадей сеченийFig. 12. Dependence of effective length coefficients on cross-sectional area ratio
Проведя анализ результатов по приведенным графикам и выполнив сравнение с традиционным методом расчета, при котором не учитывается жесткость подкрановой балки, было получено: увеличение критической силы F на 20 %, уменьшение момента инерции на 20 % и уменьшение площади сечения на 30 %.