Фрикционно-маятниковые опоры (ФМО) (или маятниковые скользящие опоры) в зависимости от конструктивных решений подразделяются на опоры: с одной сферической поверхностью скольжения – одномаятниковые скользящие опоры; с двумя сферическими поверхностями скольжения – двухмаятниковые скользящие опоры; с четырьмя сферическими поверхностями скольжения – трехмаятниковые скользящие опоры. Фрикционные опоры называются маятниковыми скользящими, так как расположенная на них конструкция совершает колебания, подобные движениям математического маятника при наличии трения. Маятниковые опоры изготавливают из нержавеющей стали, а их сферические поверхности имеют покрытия из материалов, обладающих заданными фрикционными свойствами [1–3]. Вопросы численного решения динамических задач и сейсмозащиты рассмотрены в работах [4–11].

Рассмотрим многоэтажное здание с сейсмоизоляцией при сейсмическом воздействии. В качестве сейсмозоляции используются маятниковые скользящие опоры. Динамическая модель исследуемого объекта, которая состоит из n сосредоточенных масс, представлена на рис. 1а. Одномаятниковая скользящая опора состоит из двух горизонтальных плит, одна из которых имеет сферическую вогнутую поверхность и расположена между плитами сферического шарнирного ползуна (рис. 2а). Особенности поведения и сейсмоизолирующие свойства одномаятниковой скользящей опоры зависят от радиуса кривизны сферической поверхности R и значения коэффициента трения скольжения μ ползуна по сферической поверхности (рис. 2б). Как следует из статического равновесия сил, действующих и возникающих в процессе скольжения по сферической поверхности,

F = FTcosα + FN sinα, (1)

Q = FNcosα – FT sinα, (2)

sinα = u1/R, cosα = (R – δ)/R = 1 – δ/R,

где F, Q – горизонтальная и вертикальная силы, действующие на фрикционную опору;

FT , FN – тангенциальная и нормальная силы, действующие на ползунок скольжения;

R – радиус сферической поверхности.

Тангенциальная сила как сила трения выражается через нормальную силу

FT = μFN , (3)

где μ – коэффициент трения.

Из (1) и (2) с учетом (3) получаем

F = FN(μcosα + sinα), Q = FN(cosα – μsinα),

(4)

Из-за малости угла α можно предположить, что cosα – μsinα ≈ 1, тогда уравнение (4) можно представить в виде

F = Q(sinα + μcosα) = Q(u1/R + μcosα) = kh u1 + Qμcosα, (5)

F/Q = u1/R + μcosα,

где kh = k1 = Q/R – коэффициент горизонтальной жесткости ФМО;

Q, M – вес и масса суперструктуры: Q = M × g, M = m1 + m2 + ... + mn;

g – ускорение свободного падения.

Из (5) следует, что при R → ∞ и α → 0 горизонтальная сила F = μQ, что соответствует силе трения в обычной скользящей опоре.

Далее рассмотрим расчетную модель многоэтажного здания со скользящими одномаятниковыми опорами (рис. 1). В случае сейсмического воздействия, в момент времени t здание перемещается на величину u0, а за счет скольжения опоры перемещается еще на величину ub = u1, и только после этого оно деформируется (рис. 1а). Уравнение движения такой системы можно получить исходя из основной системы метода перемещений (рис. 1б). Систему уравнений движения можно получить исходя из равновесия каждой массы.

Уравнение динамического равновесия опорной массы здания mb = m1 (рис. 1в), с учетом затухания, представляется в виде

m1(ü0 + ü1) + chu•1 + F + r12u2 = 0, (6) где r12 = –k2, k2 = 2 × 12EI/h23 – реакция в элементах первого этажа от единичного перемещения Z1 = 1; ch = c1 – параметр затухания ФМО. Сила F, которая состоит из суммы двух сил, представляется так: F = kh × u1 + μQcosα × sgn(u•0 – u•1), (7) kh = k1 = Q/R, sgn(u•0 – u•1) – кусочно-постоянная нечетная функция действительного аргумента с областью определения (– ∞; + ∞) и областью значений (–1; 0; +1); u•0 – скорость движения основания здания; u•1 – скорость движения массы m1. Подставив (7) в (6), получаем уравнение движения массы m1 m1 ü1 + c1 u•1 + μQcosα × sgn(u•0 – u•b) + k1u1 – k2u2 = – m1ü0(t), (8) Функцию cosα(t) в (8) можно представить как производную от sinα(t) = u1(t)/R: . (9) Если учесть, что круговая частота свободных колебаний математического маятника (рис. 2б) без учета и с учетом затухания соответственно равна: , (10) то уравнение (8), с учетом (9) и (10), можно представить в следующем виде m1ü1 + c1u•1 + c0u•1 × usgn(u•0 – u•1) + k1u1 – k2u2 = – m1ü0(t), (11) . Делим обе части (11) на m1 с учетом (10), где , получаем . (11а) Коэффициент затухания ξ1 в (11а) зависит от фрикционных свойств материалов сферических поверхностей и ползунов, его можно принять в пределах от 10 до 30 % от критического затухания ξ1 = ch/ccr; ccr = 2m1ω0; 0,1 ≤ ξ1 ≤ 0,3. Уравнения движения массы mj и mn записываются в виде mj(ü0 + ü1 + üj) + cju•j + rjj–1 uj–1 + rjj uj + rjj+1 uj+1 = 0, ј = 2, 3, ..., n–1, mn(ü0 + ü1 + üj) + cnu•j + rnn–1 un–1 + rnnun = 0, здесь rjj–1 = – kj, rjj = kj + kj+1, rjj+1 = – kj+1, rnn–1 = – kn, rnn = kn, mjüј + cju•j – kjuj–1 + (kj + kj+1)uj – kj+1 uj+1 = – mj(ü0 + ü1), (12) üj + 2ωjξju•j – ω2juj–1 + (ω2j + ω2j+1)uj – ω2j+1uj+1 = – (ü0 + ü1), ω2j = kj /mj , cj = ξccr = ξ2ωjmj, j = 2, 3, ..., n – 1. Уравнение движения массы mn представляется в виде mnün + cnu•n – knun–1 + kn un = – mn(ü0 + ü1), (13) ün + 2ωnξnu•n – ω2nun–1 + ω2nun = – (ü0 + ü1), ω2n = kn/mn.

Если предположить, что жесткости вертикальных элементов динамической модели здания стремятся к бесконечности, где относительные перемещения u2 = u3 = ... = un = 0, то задача сводится к рассмотрению уравнения

которое описывает движения абсолютно жесткого тела, установленного на фрикционно-маятниковых опорах.

Систему уравнений (11)–(13) можно представить в матричной форме

(14)

где M = diag(m1, m2, ..., mn) – диагональная матрица масс;

I – единичный вектор влияния;

C – матрица затухания.

Матрица жесткости и векторы перемещений, скоростей и ускорений представляются в виде

(15)

Матрицу затухания в (14), соответствующей верхней части здания в первом приближении, можно принять пропорционально матрице масс

C = diag(m2, m3, ..., mn) × a,

где a – коэффициент пропорциональности.

С целью численного моделирования задачи по расчету сейсмоизолированного здания с одномаятниковыми скользящими опорами используем метод последовательных аппроксимаций [2][3], в котором скорость и ускорения, соответствующие моменту времени tn, представляются в виде

, (16)

, (17)

n = 1, 2, ..., N,

здесь τn – шаг интегрирования на отрезке времени [tn–1,tn];

αj, βj – коэффициенты аппроксимации [3–6].

Подставляя (16) и (17) в (11), получим

(18) k1 = Q/R, k2 = 2 × 12EI/h23. Уравнение (18) можно представить в виде – a11u1,n – a12u2,n = m1 × us1,n–1 + c1 × sk1,n–1 + c0 × sk1,n–1 × sgn(u•0 + u•1) – m1ü0(tn),(19)

здесь

Проведя аналогичную процедуру к уравнению (12), получаем

– aj,i–1uj–1,n + ajjuj,n – ajj+1uj+1 = mj × usj,n–1 + cj × skj,n–1 – mj(ü0+ü1),(20)

здесь

j = 2, 3, ..., n – 1.

Дифференциальное уравнение (13) с использованием аппроксимирующих формул (16) и (17) приводится к следующему виду

– ann–1un–1,n + an,nun,n = mn × usn,n–1 + cn × skn,n–1 – mn(ü0+ü1),(21)

где

Полученные алгебраические уравнения (19)–(21) можно представить в матричной форме:

AU = B, (22)

(23)

Система алгебраических уравнений (22) решается на каждом шаге по времени. Видно, что матрица A является ленточной, поэтому для ее решения можно использовать итерационный метод Зейделя.