В соответствии с [1] рассмотрим методику решения задачи на примере расчета критической частоты собственных колебаний перекрытия здания, которое моделировалось прямоугольной пластиной. В расчетах автономной пластины учитывались два вида граничных условий – шарнирно опертые и жестко защемленные граничные условия [2], так как в пределах этих границ находится интересуемая частота.

Модальный анализ проводился по программе ЛОГОС1.

Исходные данные для расчета имеют вид (материал 1):

– длина а1 = 11,45 м; ширина а2 = 6 м; толщина h = 0,7 м;

– модуль Юнга Eпроект1 = 3 × 10⁷ кН/м² (проектный модуль деформации бетона класса В22,5);

– коэффициент Пуассона ν = 0,2;

– массовая плотность ρ = 2,4 т/м³.

Цилиндрическая жесткость определялась по формуле:

Частоту собственных колебаний шарнирно опертой по контуру прямоугольной пластины можно определить по следующей аналитической формуле [3]:

где m1 и m2 – целые числа, соответствующие номеру тона колебаний. В результате было получено аналитическое значение частоты собственных колебаний первого тона:

Расчеты по программе выполнялись сначала для сетки КЭ 10 × 10, а затем для сетки КЭ 20 × 20, что оказалось достаточным для сходимости решения.

В табл. 1 представлена оценка частоты собственных колебаний перекрытия, полученная аналитическим путем и по программе.

Погрешность расчета 2,4 % является приемлемой.

На рис. 1 представлена форма колебаний первого тона.

Далее рассмотрим модель перекрытия, но с учетом арматуры, имеющей следующие свойства (материал 2):

− модуль Юнга Eпроект2 = 2 × 10⁸ кН/м² (проектный модуль деформации арматуры);

− коэффициент Пуассона ν = 0,3;

− массовая плотность ρ = 7,85 т/м³.

Бетон с арматурой моделировались в виде многослойного КЭ [4], состоящего из пяти слоев, показанных на рис. 2, где материал 1 соответствует бетону, а материал 2 соответствует стальной арматуре.

В работе выполнялась серия расчетов частоты собственных колебаний плиты при уменьшении модуля деформации бетона от проектного до нулевого значения, соответствующего полностью разрушенному бетону. При этом учитывались инерционные свойства бетона и арматуры, которые считались неизменными во всех расчетах. Модуль деформации арматуры учитывался по двум сценариям. По сценарию жб1 модуль деформации арматуры оставался неизменным при деградации модуля деформации бетона от нормативного до нулевого значения, а по сценарию жб2 модули деформации бетона и арматуры одновременно уменьшались от нормативных до нулевых значений. Графики зависимости частоты собственных колебаний первого тона от модуля деформации бетона и железобетона в относительных единицах представлены на рис. 3, а оцифровка графиков представлена в табл. 2.

Ниже приводится список принятых обозначений:

Епроект1 – проектное значение модуля деформации бетона;

Епроект2 – проектное значение модуля деформации арматуры;

Ебет – текущее значение модуля деформации бетона от проектной до нулевой величины;

Еарм – текущее значение модуля деформации арматуры от проектной до нулевой величины;

 – относительное значение модуля деформации бетона;

 – относительное значение модуля деформации арматуры;

fбет – частота собственных колебаний перекрытия из бетона для текущих значений модуля деформации бетона;

fжб1 – частота собственных колебаний перекрытия из железобетона для текущих значений модуля деформации бетона и арматуры (сценарий жб1);

fжб2 – частота собственных колебаний перекрытия из железобетона для текущих значений модуля деформации бетона и арматуры (сценарий жб2);

fпроект = 39,54 Гц – проектное значение частоты собственных колебаний перекрытия из проектного бетона при шарнирном опирании и fпроект = 73,65 Гц в расчете на жесткой заделке;

 – относительное значение частоты собственных колебаний перекрытия из бетона;

 – относительное значение частоты собственных колебаний перекрытия из железобетона (сценарий жб1);

 – относительное значение частоты собственных колебаний перекрытия из железобетона (сценарий жб2).

Как видно из рис. 3, при уменьшении модуля деформации бетона от проектных до нулевых значений частота собственных колебаний перекрытия снижается. Точкой А на рис. 3 отмечено экспериментальное (вибродиагностика) значение частоты собственных колебаний перекрытия 37,6 Гц, которое соответствует модулю деформации бетона 0,9Епроект1.

Для проектного значения модуля деформации частота собственных колебаний перекрытия из железобетона на 7,7 % превосходит частоту собственных колебаний перекрытия из бетона за счет влияния арматуры. При значении модуля деформации бетона, близком к нулю (полностью разрушенный бетон), значение частоты собственных колебаний перекрытия составило 19,24 Гц. Эта частота соответствует катастрофической (аварийной) степени повреждения рассматриваемого перекрытия и определяется на основании жесткости арматуры и инерционных свойств арматуры и бетона.

Для оценки критической частоты принимается подход, изложенный в таблице 9 методики МЧС [5]. Согласно данному подходу, при уменьшении квадрата частоты собственных колебаний конструкции на 60 % конструкция переходит из сильно ограниченно-работоспособного технического состояния в тяжелое аварийное техническое состояние. Уменьшению квадрата частоты собственных колебаний конструкции на 60 % соответствует значение самой частоты, составляющее 63 % от ее проектного значения. Как видно из рис. 3, для такого технического состояния перекрытия частота собственных колебаний, составляющая 0,63 от ее проектного значения, в зависимости от сценария лежит в диапазоне модулей деформации бетона от 0,17 до 0,35 первоначального значения.

Далее рассмотрим аналогичное решение по определению критического значения частоты собственных колебаний перекрытия, но с жестко защемленными граничными условиями [6]. Частоту собственных колебаний пластины можно определить по следующей формуле:

Погрешность при сравнении полученного результата с расчетом по программе ЛОГОС составила 10 %.

На рис. 4 и в табл. 3 представлены результаты расчетов, которые выполнены в той же постановке, как и в случае шарнирного опирания перекрытия.

По результатам рассмотрения можно заключить, что критическая частота собственных колебаний перекрытия лежит в диапазоне модулей деформации перекрытия от 0,19 до 0,35 от проектного модуля деформации бетона, что обеспечивает слишком консервативный характер результатов при расчете перекрытия на жесткой заделке. Решение для перекрытия на шарнирных опорах находится в лучшем соответствии с экспериментальным результатом, полученным из вибродиагностики в точке А. Ввиду этого итоговое значение критической частоты собственных колебаний для данного перекрытия составит 24,9 Гц при модуле деформации бетона 0,5 × 10⁷ кН/м² и при шарнирном опирании, что соответствует сценарию жб1, когда по мере деградации модуля деформации бетона от проектного до нулевого значения модуль деформации арматуры не претерпевает существенных изменений.

Следует отметить, что при колебаниях в упругой области изгибная жесткость железобетонного перекрытия определяется из расчета относительно нейтральной оси, проходящей через центр сечения, а при колебаниях в неупругой области нейтральная ось смещается, что оказывает влияние на результат. Опосредованный учет этого производится за счет рассмотрения в модальном анализе всех возможных жесткостей перекрытия в диапазоне от проектного до нулевых значений.

Для расширения методики, изложенной в [1], дополнительно рассмотрим расчет критической частоты собственных колебаний стены здания, которая также моделировалась прямоугольной пластиной. В расчетах автономной пластины учитывались два вида граничных условий – жестко защемленные и комбинированные (шарнирно опертые по контуру, жесткая заделка снизу). Применение комбинированных граничных условий обусловлено примыканием массивной фундаментной плиты к нижней части данной стены, что обеспечивает хорошее соответствие с результатами вибродиагностики.

Исходные данные для расчета имеют вид (материал 1):

– длина а1 = 21,8 м; ширина а2 = 4,7 м; толщина h1 = 2,1 м; h2 = 0,9 м;

– модуль Юнга Eпроект1 = 3 × 10⁷ кН/м² (проектный модуль деформации бетона класса В22,5);

– коэффициент Пуассона ν = 0,2;

– массовая плотность ρ = 2,4 т/м³.

Геометрические размеры стены приведены на рис. 5.

На рис. 5 пунктирной линией показаны места примыкания поперечных стен, которые учитывались наложенными связями в нормальном к стене направлении. Железобетонная стена моделировались с помощью многослойных КЭ, состоящих из пяти слоев, показанных на рис. 6 и 7.

На рис. 8 показан первый тон собственных колебаний стены для шарнирного опирания по контуру + жесткая заделка снизу.

В табл. 4 и на рис. 9 представлены графики зависимости частоты собственных колебаний стены от модуля деформации бетона и арматуры и их оцифровка.

Для верификации представленного подхода необходимо провести нелинейный анализ системы «сооружение – грунтовое основание» с учетом работы железобетонного перекрытия.