О применении жесткостей аналитического метода расчета прямых железобетонных кессонных перекрытий. Часть 2. Расчет с относительной жесткостью балок

Введение

Данная работа является продолжением изучения аналитического метода расчета прямых кессонных железобетонных перекрытий [1]. Причиной этому стал анализ имеющихся в литературе данных аналитических и компьютерных расчетов кессонных конструкций, который показывает, что в зависимости от созданной конечно-элементной модели и геометрии перекрытия усилия в балках могут существенно отличаться [2–4][16]. Методика выполнения работы предусматривает сравнение усилий – изгибающих моментов, полученных аналитическим способом и методом конечных элементов в вычислительном комплексе SCAD в балках центральных зон прямых кессонных перекрытий с различной геометрией в плане и различным соотношением сторон кессонов. Самой простой и наиболее точной как в расчетном смысле метода конечных элементов [5][6], так и по геометрии пространственной модели для изучения напряженно-деформированного состояния ребер кессонных перекрытий при сравнении с аналитическим методом расчета, основанным на балочной аналогии, будет стержневая конечно-элементная модель со сбором нагрузки на балки по законам треугольника и трапеции. В качестве конечных элементов принят пространственный стержень таврового сечения – тип 5. Известная аналитическая теория расчета железобетонных кессонных конструкций основана на аналогии расчета плит, опертых по контуру [7–13]. На первом этапе расчета определяются составляющие общей нагрузки, приходящиеся на балки q_x + q_y = q, расположенные вдоль осей X и Y, зависящие только от размеров пролетов перекрытия L_x и L_y. Это свидетельствует о принятии в расчете одинаковых жесткостей отдельных центральных ортогональных балок, или условных выделенных полос, а не жесткостей перекрытия. Поэтому жесткости в формулы не входят, они сокращаются по правилам математики. В первой части работы [1] доказано, что использование жесткости отдельных центральных ортогональных балок в общем случае расчета приводит к неверным результатам. Без учета жесткостей можно рассчитывать только шарнирно-опертые по контуру перекрытия квадратные в плане с квадратными кессонами, так как в данном случае жесткости в формулах сокращаются. Кессонное перекрытие является плитой, опертой по контуру, подкрепленной снизу ребрами жесткости. Плитные конструкции характеризуются цилиндрической жесткостью, относительной балочной жесткостью или их суммой [14]. Поэтому в данной работе в качестве жесткости аналитического метода расчета железобетонных кессонных перекрытий рассматривается относительная жесткость балок по ортогональным направлениям X и Y.

Цель

Целью данной работы является выяснение достоверности получаемых усилий в балках прямых кессонных железобетонных перекрытий с использованием в формулах аналитического расчета относительной жесткости отдельных ортогональных балок, расположенных в центральных зонах перекрытия.

Материалы и методы исследования

На первом этапе известного аналитического расчета [7–13] определяются составляющие общей нагрузки, приходящиеся на балки q_x + q_y = q, расположенные вдоль осей X и Y, зависящие от размеров пролетов перекрытия L_x и L_y и жесткостей отдельных центральных ортогональных балок B_x и B_y.

𝐵𝑥 = 𝐸 × 𝐼𝑥, (1)

𝐵𝑦 = 𝐸 × 𝐼𝑦, (2)

где Е – модуль упругости материала;

I_x и I_y – моменты инерции балок вдоль осей X и Y.

, (3)

. (4)

На втором этапе определяются усилия – изгибающие моменты и поперечные силы.

Максимальные изгибающие моменты в балках, расположенных вдоль осей X и Y, определяются по формулам:

, (5)

, (6)

где α₁ и α₂ – коэффициенты, зависящие от характера распределения нагрузки и вида опорных закреплений. При равномерно-распределенной нагрузке на перекрытие и шарнирно-опертом контуре α₁= α₂= 0,125;

a и b – шаг балок;

n_x и n_y – коэффициенты пропорциональности, зависящие от расположения балок в перекрытии.

В работе [14, с. 410][411] при расчете плит, усиленных симметрично относительно оси плиты ребрами жесткости, жесткость конструкции определяется как сумма, состоящая из цилиндрической жесткости плиты и относительной жесткости ребер:

, (7)

, (8)

где E и E^’ – модули упругости материала плиты и ребер;

h – толщина плиты;

ν – коэффициент Пуассона;

I₁ и I₂ – моменты инерции ребер жесткости вдоль осей X и Y;

b₁ и a₁ – расстояния между ребрами.

Жесткость плиты D_y , усиленной с одной стороны системой равноотстоящих ребер, определяется по следующей формуле:

, (9)

где E – модуль упругости материала;

I – момент инерции отдельной тавровой балки;

a₁ – шаг равноотстоящих балок.

При расчете балочных сеток жесткость по ортогональным направлениям определяется по формулам:

, (10)

, (11)

где B₁ и B₂ – жесткость при изгибе каждой из балок вдоль осей X и Y;

b₁ и a₁ – шаг балок.

Перепишем формулы расчета железобетонных кессонных перекрытий с учетом относительных жесткостей отдельных ортогональных тавровых балок, равноотстоящих друг от друга.

, (12)

. (13)

Методика выполнения работы предусматривает сравнение усилий – изгибающих моментов, полученных аналитическим способом и методом конечных элементов в вычислительном комплексе SCAD в балках центральных зон прямых кессонных перекрытий с различной геометрией. Рассматриваются шарнирно-опертые по контуру перекрытия квадратные в плане 12,0 × 12,0 м с размерами кессонов 1,5 × 1,5 м, 2,0 × 1,5 м, 2,4 × 1,5 м, 3,0 × 1,5 м, 4,0 × 1,5 м, прямоугольные перекрытия с размерами в плане 12,0 × 15,0 м, 12,0 × 18,0 м, 12,0 × 21,0 м, 12,0 × 24,0 м с квадратными кессонами 1,5 × 1,5 м и прямоугольные перекрытия 12,0 × 15,0 м, 12,0 × 18,0 м, 12,0 × 21,0 м, 12,0 × 24,0 м с прямоугольными кессонами 1,5 × 1,875 м, 1,5 × 2,25 м, 1,5 × 2,625 м, 1,5 × 3,0 м соответственно. Все расчетные схемы имеют балки параллельного направления с одинаковым расстоянием друг от друга. Перекрытия рассчитываются на равномерно-распределенную нагрузку q = 1 Т/м².

В качестве компьютерной модели, как и в первой части работы, принята система перекрестных балок из стержней таврового сечения (конечный элемент тип 5 – пространственный стержень) с непосредственным приложением к ним погонной нагрузки, собираемой с отсеков по законам треугольника и трапеции [11][12]. Во всех схемах сечение пролетных балок принято высотой 500 мм, шириной ребра 250 мм, толщиной полки 80 мм, шириной полки равной шагу балок, бетоном класса B25.

В часторебристом перекрытии для балок одного направления балки другого направления являются для первых ребрами жесткости и в соответствии с требованиями п. 8.1.11 СП 63.13330.2018 «Бетонные и железобетонные конструкции. Основные положения» в расчете мы должны учитывать всю ширину полки.

В соответствии с требованиями п. 6.2.5 СП 430.1325800.2018 «Монолитные конструктивные системы. Правила проектирования» и п. 2.1.1.1. Методического пособия [17] для учета ползучести бетона и наличия трещин при расчете балок компьютерных моделей начальный модуль упругости бетона умножался на коэффициент 0,2 для участков с трещинами (пролетные балки) и 0,3 для участков без трещин (балки опорного контура).

Выполним аналитический расчет в соответствии с теорией, учитывающей относительную жесткость балок D_x и D_y. Жесткость балок B_x и B_y определена в ВК SCAD.

Квадратное перекрытие с квадратными кессонами (L_x × L_y)

Перекрытие размером в плане 12,0 × 12,0 м с кессонами 1,5 × 1,5 м. Рассматриваем центральные балки Б_1,5X и Б_1,5Y (рис. 1).

Относительная жесткость балок:

, (14)

. (15)

Составляющие общей нагрузки, приходящиеся на балки:

, (16)

. (17)

Максимальные изгибающие моменты в середине пролета:

, (18)

. (19)

Квадратные перекрытия с прямоугольными кессонами (L_x × L_y)

Перекрытие размером в плане 12,0 × 12,0 м с кессонами 2,0 × 1,5 м. Рассматриваем центральные балки Б_1,5X и Б_2,0Y .

, (20)

, (21)

, (22)

, (23)

, (24)

. (25)

Перекрытие размером в плане 12,0 × 12,0 м с кессонами 2,4 × 1,5 м. Рассматриваем центральные балки Б_1,5X и Б_2,4Y .

, (26)

, (27)

, (28)

, (29)

. (30)

Коэффициент пропорциональности, учитывающий расположение балки Б_2,4Y от опорного контура вдоль оси X.

, (31)

, (32)

. (33)

Перекрытие размером в плане 12,0 × 12,0 м с кессонами 3,0 × 1,5 м. Рассматриваем центральные балки Б_1,5X и Б_3,0Y .

, (34)

, (35)

, (36)

, (37)

, (38)

. (39)

Перекрытие размером в плане 12,0 × 12,0 м с кессонами 4,0 × 1,5 м. Рассматриваем центральные балки Б_1,5X и Б_4,0Y .

, (40)

, (41)

, (42)

, (43)

, (44)

, (45)

, (46)

(47)

Прямоугольные перекрытия с квадратными кессонами (L_x × L_y)

Перекрытие размером в плане 12,0 × 15,0 м с кессонами 1,5 × 1,5 м. Рассматриваем центральные балки Б_1,5X и Б_1,5Y .

, (48)

, (49)

, (50)

, (51)

, (52)

(53)

Перекрытие размером в плане 12,0 × 18,0 м с кессонами 1,5 × 1,5 м. Рассматриваем центральные балки Б_1,5X и Б_1,5Y .

(54)

(55)

(56)

(57)

, (58)

. (59)

Перекрытие размером в плане 12,0 × 21,0 м с кессонами 1,5 × 1,5 м. Рассматриваем центральные балки Б_1,5X и Б_1,5Y .

(60)

(61)

(62)

, (63)

, (64)

. (65)

Перекрытие размером в плане 12,0 × 24,0 м с кессонами 1,5 × 1,5 м. Рассматриваем центральные балки Б_1,5X и Б_1,5Y .

(66)

(67)

(68)

(69)

(70)

(71)

Прямоугольные перекрытия с прямоугольными кессонами (L_x × L_y)

Перекрытие размером в плане 12,0 × 15,0 м с кессонами 1,5 × 1,875 м. Рассматриваем центральные балки Б_1,875X и Б_1,5Y .

(72)

(73)

(74)

(75)

(76)

(77)

Перекрытие размером в плане 12,0 × 18,0 м с кессонами 1,5 × 2,25 м. Рассматриваем центральные балки Б_2,25X и Б_1,5Y .

(78)

(79)

(80)

(81)

(82)

(83)

Перекрытие размером в плане 12,0 × 21,0 м с кессонами 1,5 × 2,625 м. Рассматриваем центральные балки Б_2,625X и Б_1,5Y .

(84)

(85)

(86)

(87)

(88)

(89)

Перекрытие размером в плане 12,0 × 24,0 м с кессонами 1,5 × 3,0 м. Рассматриваем центральные балки Б_3,0X и Б_1,5Y .

(90)

(91)

(92)

(93)

(94)

(95)

Данные аналитического расчета и компьютерных моделей кессонных перекрытий представлены в табл. 1–3.

Результаты

Кессонные перекрытия с прямыми кессонами эффективно применять при соотношении сторон L_max /L_min ≤ 1,5 [3][13]. В формулы определения составляющих общей нагрузки для прямоугольных перекрытий с прямоугольными кессонами входят как разные величины пролетов, так и разные жесткостные характеристики. Это может привести к большей погрешности расчета, поэтому для сравнения полученных усилий представляем расчетную модель ВК SCAD и эпюры изгибающих моментов для перекрытия размером в плане 12,0 × 18,0 м с кессонами 1,5 × 2,25 м (рис. 2, 3).

Выводы

1. Значения изгибающих моментов в балках перекрытия квадратного в плане с квадратными кессонами, вычисленные аналитическим способом с учетом величин пролетов, относительной жесткости балок и методом конечных элементов вычислительного комплекса SCAD, совпадают. Максимальные отклонения аналитического метода расчета от МКЭ составляют –0,6 %.
2. Значения изгибающих моментов в балках перекрытия квадратного в плане с прямоугольными кессонами, вычисленные аналитическим способом с учетом величин пролетов, относительной жесткости балок и методом конечных элементов вычислительного комплекса SCAD, имеют близкие значения. Максимальные отклонения аналитического метода расчета от МКЭ составляют от –2,8 до +2,5 %.
3. Значения изгибающих моментов в балках перекрытия прямоугольного в плане с квадратными кессонами и соотношением пролетов L_max /L_min ≤ 1,5, вычисленные аналитическим способом с учетом величин пролетов, относительной жесткости балок и методом конечных элементов вычислительного комплекса SCAD, имеют близкие значения. Максимальные отклонения аналитического метода расчета от МКЭ составляют от –7,3 до +4,8 %. Сравнивать значения изгибающих моментов для перекрытия с соотношением пролетов L_max /L_min ≥ 1,75 не имеет смысла, так как эпюра изгибающих моментов в большем пролете не соответствует квадратной параболе. Максимальные изгибающие моменты находятся не в середине пролета.
4. Значения изгибающих моментов в балках перекрытия прямоугольного в плане с прямоугольными кессонами и соотношением пролетов L_max /L_min ≤ 1,5, вычисленные аналитическим способом с учетом величин пролетов, относительной жесткости балок и методом конечных элементов вычислительного комплекса SCAD, имеют близкие значения. Максимальные отклонения аналитического метода расчета от МКЭ составляют от –6,2 до +2,0 %. Сравнивать значения изгибающих моментов для перекрытия с соотношением пролетов L_max /L_min ≥ 1,75 не имеет смысла, так как эпюра изгибающих моментов в большем пролете не соответствует квадратной параболе. Максимальные изгибающие моменты находятся не в середине пролета.
5. Отклонения по изгибающим моментам аналитического метода расчета от метода конечных элементов можно объяснить влиянием на напряженно-деформированное состояние конструкции перекрытия балки опорного контура и наличием в балках крутящих моментов, не учитываемых аналитическим способом расчета.
6. В формулах аналитического метода расчета прямых шарнирно-опертых по контуру ребристых кессонных железобетонных перекрытий при определении составляющих общей нагрузки необходимо использовать величины пролетов и относительную жесткость ортогональных балок. Условием применения данной жесткости является одинаковое расстояние между параллельными балками.
7. В связи с тем что стержневая конечно-элементная модель метода конечных элементов является наиболее точной, но не удобной при проектирования здания в целом (нельзя учесть собственный вес конструкций в автоматическом режиме программного комплекса по причине наложения объемов материала, отсутствие данных напряженно-деформированного состояния полки, необходимость ручного расчета погонной нагрузки), дальнейшим исследованием расчета прямых кессонных железобетонных перекрытий может быть моделирование конструкций на ЭВМ с использованием разных типов конечных элементов (плитных, оболочечных, стержневых с применением жестких вставок, объемных, их сочетаний) и сравнение полученных данных с аналитическим методом расчета, учитывающим относительную жесткость балок.