Интегральные уравнения второго рода в задачах расчета нелинейных систем с конечным числом степеней свободы при произвольных динамических воздействиях и характере физических зависимостей

Введение

Методы исследования нелинейных колебаний систем, связанные с преобразованием нелинейных уравнений движения систем с конечным числом степеней свободы к нелинейным интегральным уравнениям второго рода, достаточно широко распространены в научно-технической литературе [1–3]. В основном речь идет о построении амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) и их анализе.

Между тем, воспользовавшись импульсными переходными функциями (ИПФ) исходных линейных «порождающих» уравнений, нелинейные дифференциальные уравнения могут быть записаны в виде систем нелинейных интегральных уравнений второго рода, которые, по существу, и определяют полное решение исходной системы в виде суммы двух интегралов типа свертки. Один из возможных алгоритмов вычисления подобных интегралов дан, в частности, в статье [4].

При построении решений системы линейных «порождающих» уравнений колебаний использовались фундаментальные зависимости для линейных систем общего вида, приведенные в [5], и несколько более детально для систем с конечным числом степеней свободы в [3].

Общая схема и алгоритм расчета нелинейных систем с конечным числом степеней свободы проиллюстрированы на примере расчета системы с двумя степенями свободы (рис. 1).

Сходимость, устойчивость и точность решений нелинейных систем, построенных используя, в частности, принятый в статье алгоритм, оценивались по результатам расчета двух нелинейных систем с одной степенью свободы.

Стоит отметить, что принятая расчетная схема достаточно широко используется при расчетах различных типов виброзащитных систем: виброизоляции, динамических гасителей колебаний и т. п. – с линейными и нелинейными характеристиками. Подобный алгоритм позволил записать решения линейных уравнений практически в замкнутом виде [2] и в качестве второго примера – решение уравнений плоских горизонтально-вращательных колебаний массивных тел (фундаментов), в том числе заглубленных в грунт [1] (рис. 2).

Материалы и методы

Процесс построения полного алгоритма расчета нелинейных систем с конечным числом степеней свободы можно разделить на несколько этапов.

На начальном этапе дифференциальные уравнения колебаний систем при нелинейной зависимости «жесткость–перемещение» следует представить в виде (1), записав нелинейные составляющие в правой части:

; (1)

где для дальнейшего сокращения записей обозначено:

(2)

k₁, k₂ – жесткости упругих связей;

v₁, v₂ – коэффициент затухания в упругих связях;

Δy = y₁ − y₂.

Передаточные (ПФ) и импульсные переходные (ИПФ) функции этой системы определяют вид интегральных уравнений, которые, по существу, и являются решением системы нелинейных дифференциальных уравнений. Значение этих функций вычисляют из расчета линейной («порождающей») системы уравнений при:

q_i(t) = Q_ie^iωt – силовых;

q_i(t) = – ₀ Me^iωt – кинематических воздействиях.(3)

где Q_i – амплитудные значения усилий;

₀ – закон смещения основания;

ω – частота вынужденных колебаний.

В матричном виде эту систему следует записать так:

(4)

где

M =  (5)

– матрицы масс и жесткости.

Используя известные зависимости [2][5], решения подобных систем могут быть представлены в виде разложения по формам собственных колебаний при том, что каждая составляющая полного решения определяется из решения систем уравнений – по структуре систем с одной степенью свободы, диссипативные силы в которых можно учесть, добавив в каждое из них дополнительные слагаемые пропорциональные скорости колебаний.

В работе, в частности, используется модифицированная модель Фойгта с основным параметром γ – коэффициентом неупругого сопротивления. Такая модель принята во многих нормативных документах [6][7], где приводятся также значения этого параметра для различных материалов и сред.

Подобная схема построения алгоритмов расчета более детально дана на примере расчета системы (1).

Следующий этап расчета – вычисление ПФ и ИПФ системы линейных уравнений (4).

Следуя общей схеме вычисления передаточных функций линейной системы [2], подставим в (4):

(8)

где

(9)

Полагая в (8) ω = p и приравняв определитель к нулю, вычислим корни частотного уравнения (значения собственных частот) по формуле:

(10)

где φ₁ = h₁ + h₁s₁ + 1.

(11)

(12)

Общий алгоритм вычисления передаточных функций можно показать на примере системы (4). Для этого формулу для ПФ, записанную в виде

(a)

где L(p_i) – некоторая функция частоты.

Следует преобразовать и представить как сумму отдельных составляющих:

(б)

где p_r – корни уравнения (8) (частоты собственных колебаний), т. е., по существу, в виде разложения по формам собственных колебаний «порождающей» системы, в которой коэффициенты K_r, следуя известной схеме [2], следует определять по формуле:

(в)

Из (б) и (в) следуют общие зависимости для передаточных функций системы (4) также в виде разложения по формам собственных колебаний

, (13)

где

. (14)

Последнее слагаемое в знаменателе в (13) позволяет учитывать диссипативные силы, используя наиболее подходящие для конкретных задач модели. Ранее уже было сказано, что в работе далее используется модифицированная гипотеза Фойгта при .

Передаточные и импульсные переходные функции для общих случаев линейных систем определены в [2].

Для систем с конечным числом степеней свободы алгоритм расчета ИПФ можно несколько упростить, если учесть, что ПФ подобных систем определяются в виде суммы решений систем уравнений по форме систем с одной степенью свободы. В частности, для

,

при r = 1...n, (15)

где D_r – некоторая функция частоты p_r.

ИПФ уравнения (15) удобно записать, воспользовавшись одним из решений для свободных колебаний и теоремой сохранения количества движения S = my·, в окончательном виде так

. (16)

Из (13) и (16) следуют такие общие зависимости для ИПФ системы (4)

, (17)

где

(18)

Определив ИПФ из решения системы линейных дифференциальных уравнений (4), решения нелинейной системы (1) можно записать в виде нелинейных интегральных уравнений второго рода. В частности, для несколько упрощенного варианта – при c₁(Δy) = K₁; c₂(y₂) ≠ K₂, общее решение системы (1) будет определяться интегралами:

y₁(t) = y₀₁ (t) + W₀₁(t)

где

(19)

(20)

(21)

(22)

где y_0i и W_0i – соответственно решение линейной системы (4) и составляющие решений от «фиктивной» нагрузки. Φ₂(τ) – по формуле (2).

При вычислении интегралов представляется оптимальным шаговый метод по времени с уточнением (итерацией) нелинейных зависимостей на каждом этапе. Если воспользоваться представлением подынтегральной функции

и соответственно ИПФ в виде сумм слагаемых, каждое из которых – произведения функций от t и τ, алгоритм расчета подобных систем можно записать в более компактном виде.

В частности, перемещения от фиктивной нагрузки в системе с одной степенью свободы

(23)

могут вычисляться по формулам [3]:

(24)

где

(25)

Алгоритмы построения решений (перемещений) системы нелинейных дифференциальных уравнений (1), записанных в виде сумм двух интегралов типа свертки (19)–(22), можно проиллюстрировать на примере уравнения (19). Воспользовавшись зависимостями (24), (25), составляющие решения по первой форме собственных колебаний системы линейных «порождающих» уравнений следует записать в виде

(г)

где

(д)

(е)

При вычислении перемещений по второй форме в (г) и (е) p₁^* следует заменить на p₂^* и поменять знак перед общим решением (г).

Точность построенных по формулам (24), (25) решений подобных систем оценивалась на примере уравнения (23) [8] при кубической зависимости «жесткость–перемещение» на нагрузки, возбуждаемые при работе виброактивного оборудования с вращающимися частями (насосы, вентиляторы и т. п.) при всех режимах – рабочем,

пуска

и остановки (26)

где постоянные a и b определяют время пуска и остановки.

В принятом алгоритме расчета при вычислении интегралов и, следовательно, полного решения системы (1) в качестве основного параметра, определяющего, главным образом, точность решений, был принят интервал по времени , где T_r – период колебаний, N_r – число разбиений. При погрешность решений по отношению к решениям при Δt, существенно меньше принятого, не превышала одного процента.

При достаточно малых значениях Δt возможно не уточнять величину нелинейной составляющей (не выполнять итерации), а при вычислении интегралов F₁, F₂ на каждом этапе принимать их средние значения.

Результаты

Подобный алгоритм был использован и при расчете системы с одной и двумя степенями свободы (рис. 2), дополнительная связь в которых включает демпфер вязкого трения [2]. Зависимости, построенные по результатам расчетов обеих систем, приведены на рис. 3–5.

В обоих случаях построенные решения учитывают все особенности, характерные для нелинейных систем, – срыв перемещений (при резонансе происходит переход с верхней возрастающей ветви на нижнюю – устойчивую) и связанное с этим возбуждение свободных колебаний.

Выводы:

• применение методов, основанных на передаточных и переходных функциях при расчетах динамических систем в линейной постановке, позволяет построить достаточно компактные алгоритмы динамического расчета систем с конечным числом степеней свободы при произвольных, в частности периодических, воздействиях, в том числе в зонах резонанса;
• подобный подход позволяет существенно сократить этапы расчета по сравнению с традиционным методом «нормальных форм», а решения записать непосредственно относительно обобщенных, а не главных координат также в виде разложения по собственным формам;
• позволяет упростить запись разрешающих интегральных уравнений, в том числе для нелинейных систем;
• общий метод и алгоритмы расчета проиллюстрированы в работе на примере системы с двумя степенями свободы, которая вместе с тем является основной расчетной схемой для многих систем виброзащиты (виброизоляции) с динамическими гасителями колебаний, выключающимися связями и т. п. как в линейных, так и в нелинейных системах при произвольных силовых или кинематических воздействиях;
• разрешающими уравнениями при решении задач динамического расчета нелинейных систем с конечным числом степеней свободы являются нелинейные интегральные уравнения второго рода, к которым сводятся дифференциальные уравнения;
• основными зависимостями, определяющими алгоритм расчета, являются импульсные переходные функции линейных «порождающих» уравнений, представленные в виде разложения по формам собственных колебаний непосредственно относительно обобщенных координат;
• как следует из вида интегральных уравнений, решение исходной системы заключается, по существу, в вычислении двух интегралов типа свертки – от основной и «фиктивной» нагрузок;
• определяющим при вычислении интегралов шагами по времени является интервал Δt, при значениях которого , построенные решения (также в виде разложения по формам собственных колебаний порождающей системы) могут определяться как «практически точные», т. е. с заданной заранее погрешностью;
• сходимость и точность построенных решений оценивалась на примерах расчета двух нелинейных систем: с одной степенью свободы при кубической зависимости «перемещение – реакция» и систем с одной и двумя степенями свободы (рис. 1) с выключающейся связью с демпфером вязкого трения;
• построенные решения содержат все особенности, характерные для нелинейных систем, – срыв (скачок) перемещений при прохождении через резонанс и, что существенно, связанное с этим возбуждение свободных колебаний;
• представляется, что подобный алгоритм расчета может достаточно эффективно применяться при исследовании нелинейных систем с различными расчетными схемами, в том числе со многими степенями свободы.