Развитие метода эффективной расчетной длины в расчетах одноэтажных рам

Предпосылки

Любому отечественному инженеру известно, что такое эффективная расчетная длина. Прошло более века с того времени, когда профессор Ф. С. Ясинский предложил данное понятие. Согласно его мысли, мы всегда можем найти некоторый эквивалентный по устойчивости шарнирно-закрепленный стержень Эйлера физически реальному стержню с заданным набором опорных связей. Для наглядности интерпретации мысли достаточно посмотреть на рис. 1, на котором показана П-образная рама с заделкой в фундаментах в момент упругой потери устойчивости поперек. Эффективная расчетная длина h_ef – это расстояние между двумя точками перегиба изогнутой оси стержня.

Согласно [1, п. 4.7.1], эффективные длины следует устанавливать в случаях, когда выполнить расчет конструкций как единых систем по деформированной схеме с учетом пластических деформаций стали не представляется возможным. Допускается принимать приближенные расчетные схемы, которые должны отображать действительные условия нагружения колонн и закрепления их концов; при этом следует учитывать неравномерность распределения вертикальной нагрузки между колоннами, различие жесткостей колонн [1, п. 4.7.6].

Но нормативный подход в основном предлагает нам рассматривать расчетные схемы равнонагруженными, что говорит о возможности расчета при условии потери устойчивости всех колонн одновременно. Первой теряет устойчивость более нагруженная колонна, другие же колонны делают это вынуждено. При этом, конечно же, мы принимаем во внимание и требование по предельной гибкости [2].

Похоже, что раздел единых нелинейных систем [3] в инженерной практике сегодня не используется. Вместе с этим за рубежом [4] растет интерес к прямому анализу (direct analysis). Расчеты по этому методу выполняются по деформированной схеме с включением геометрических и физических несовершенств и μ = 1. Однако такая методика пока что недоступна для отечественного инженера, поэтому метод эффективных длин остается единственным актуальным в нормах способом расчета конструкций на устойчивость. Вместе с тем в стальных конструкциях существует немало задач, решение которых не найти в аналитическом виде. Это мотивирует к тому, чтобы изыскать возможность улучшить метод эффективных длин, дабы разрешить наиболее частые, остро значимые проблемы в определении расчетных длин и представить инженеру более гибкую аналитическую методику расчета.

Для верификации использованы программные комплексы ЛИРА-САПР и ABAQUS. Так как, согласно п. 4.2.5 [2], допускается выполнять проверку устойчивости стержневых конструкций (в том числе пространственных) с использованием сертифицированных вычислительных комплексов как идеализированных систем в предположении упругих деформаций стали.

В связи с объемностью теории в статье рассматриваются только одноэтажные рамы.

Нормативный подход в решении задачи о коэффициенте расчетной длины

Коэффициент расчетной длины определяется из решения приближенного дифференциального уравнения изогнутой оси стержня (1б), полученного путем упрощения точного уравнения (1а):

. (1а)

. (1б)

Если рассмотреть деформированное состояние стержня (рис. 2а) под воздействием внешних сил и составить уравнение равновесия изгибающего момента в точке на расстоянии x (рис. 2б):

, (2)

а затем подставить (2) в (1б), получим неоднородное дифференциальное уравнение (ДУ) сжато-изогнутой оси стержня:

. (3)

Решая такое ДУ, приходим к известному трансцендентному уравнению для сжато-изогнутого стержня с тремя упругими опорами (рис. 2в):

, (4)

где

;

;

– тригонометрические функции, обладающие общим свойством быть разложенными в ряд в форме неполных квадратичных функций вида

;

; ; – безразмерные нормативные параметры жесткости угловой и линейной опор (связей);

C_m – коэффициент жесткости упругого защемления, равный значению реактивного момента, возникающего в опорном сечении при повороте его на угол, равный 1;

C_n – коэффициент жесткости упругой опоры, равный значению реактивной силы, возникающей в опорном сечении при смещении его на 1;

u – критический параметр устойчивости.

Критический параметр u можно выразить либо через коэффициент расчетной длины:

, (5а)

либо через степень нагружения стержня:

. (5б)

Угловые опоры можно связать при помощи коэффициента ψ:

. (6)

В самом общем случае рассматривается стержень с тремя упругими опорами, но, исключая из уравнения (4) безразмерные параметры жесткости n, n₁, p, приходят к набору частных случаев коэффициентов расчетных длин μ, которые для удобства сведены в таблицы [2, табл. 31] и [3, табл. 24].

Геометрически нелинейный расчет

В геометрически нелинейной постановке задачи уравнения равновесия следует записывать в деформированном состоянии, например (2). Поэтому ДУ (3) позволяет взаимоувязать деформации изгиба и сжатия (деформации сдвига и кручения в расчет не принимаются). Хотя уравнение (3) и линеаризовано, его можно применять до границы умеренно больших перемещений и углов поворота сечений y' = φ < 10°.

Для наглядной демонстрации применимости (3) построена кривая зависимости «φ – u» угла поворота от критического параметра (5б) для сжато-изогнутого консольного стержня (рис. 3). Угол поворота φ подсчитывается по известной формуле (7), полученной из решения ДУ (3) методом прямого интегрирования:

. (7)

При уровне нагружения идеально упругого стержня на 96 % результат, полученный через ДУ (3), ничем не отличается от расчета, выполненного в ABAQUS в геометрически нелинейной постановке в предположении бесконечно упругой работы.

То есть мы можем заключить, что квадраты углов поворота элементов φ² = (y')² в точном ДУ (1а) являются величинами того же порядка малости, что и компоненты деформаций. Отсюда и возникает допустимость принятия знаменателя ДУ

и приведения его к (1б) для стержней, изгибаемых в области умерено больших значений.

Для сравнения перемещений по результатам расчета поперечного смещения оголовка идеально упругого консольного стержня в процессе нагружения составлена сравнительная табл. 1. Перемещения первого порядка Δ₁ без учета влияния функции второго порядка по (8) согласуются только при нагружении стержня до 10 %, то есть в области малых перемещений (или «перемещения в малом»). Перемещения второго порядка Δ₂, вычисленные по формулам (8) и (9) через приближенное ДУ (3), полностью согласуются с численным расчетом в ABAQUS вплоть до ~90 %. Далее приближенное уравнение отстает, и с ростом сжимающей силы все больше и больше занижает перемещения. При этом, как известно, при максимуме, то есть u = 0,5π, перемещения в (8) и (9) становятся бесконечными. Соответственно, в области больших перемещений следует применять только точное дифференциальное уравнение изогнутой оси (1а), позволяющее определить конечные «перемещения в большом» и закритическое поведение стержня.

В реализации учета геометрически нелинейных эффектов важен также порядок приложения нагрузок. Принцип суперпозиции здесь не работает: A + B ≠ B + A.

При рассмотрении задачи через ДУ вида (3) перемещения второго порядка Δ₂ увязаны с перемещениями первого порядка Δ₁ при помощи специальных тригонометрических функций из уравнения (4). Например для рассматриваемого консольного стержня (рис. 3), уравнение перемещение Δ₂ верха имеет вид:

, (8)

где Δ₁ – перемещения первого порядка только от действия горизонтальной силы H;

– нелинейная функция второго порядка, увязывающая сжимающую силу и перемещения.

Аппроксимация тригонометрической функции в (8) в границах 0 ≤ u ≤ 0,5 π:

. (9)

Если критический параметр u заменить (5б), то получим обобщенное выражение, связывающее перемещения первого и второго порядков через коэффициент расчетной длины μ:

, (10)

где P_i – осевая сжимающая сила, действующая в рассматриваемом i-м стержне;

P_cr – упругая критическая сила i-го стержня, которая может быть приведена к силе Эйлера шарнирно-закрепленного стержня через коэффициент расчетной длины P_e = μ²P_cr.

Другой способ рассмотрения геометрически нелинейной задачи – прямое суммирование перемещений первого порядка и перемещений, возникающих при расчете по деформированной схеме. А именно: отклонение стержня от вертикальности (P – Δ эффект); отклонение стержня от прямолинейности (P – δ эффект). P – Δ эффект определяет глобальное отклонение системы, а P – δ эффект распространяется на отдельно выбранный стержень, находящийся под действием сжимающей силы P_i.

Суммарные перемещения второго порядка:

Δ₂ = Δ_H + Δ_{P – Δ} + Δ_{P – δ}. (11)

Горизонтальная сила H (рис. 4) является действительной и создает действительную работу внешних сил, так как она совершается на перемещениях, вызванных этой же силой. Сила H позволяет создать отклоненную, но не конечную форму деформаций. И перемещения Δ_H = Δ₁ только от H меньше Δ₂. Вертикальная сила P совершает возможную работу на перемещениях по их направлению и вызвана силой H. При этом силы, совершающие возможную работу, должны предварительно достичь своего окончательного значения. Это объясняет принцип P – Δ анализа и расчетов по деформированной схеме.

Перемещения Δ_{P – Δ} и Δ_{P – δ} можно вычислить, например, методом сил. Для этого достаточно построить единичную эпюру M₁ и поочередно перемножить с эпюрами M_{P – Δ} и M_{P – δ}, как это показано на рис. 4. Опуская математические детали решения, приведем сразу полное уравнение перемещений Δ₂ для консольного стержня:

. (12)

Из равенства (12) выражаем перемещение второго порядка:

. (13)

Уравнение (13) по виду повторяет (10). Числовой коэффициент β варьируется в разных случаях закреплений стержня по концам. Он определяет сжато-изогнутое состояние стержня или P – δ эффект. Очевидное следует из построенной эпюры M_{P – δ} на рис. 4.

Также следует учитывать, что перемещения могут определяться для цепочки или ряда связанных друг с другом стержней в одном уровне, когда речь идет о поперечном смещении (сдвиге) целого этажа или покрытия, а не только изолированного стержня. Поэтому в общем случае в уравнении (13) силу P следует заменить на сумму сил ΣP:

. (14)

Метод сдвига

В 1977 году ЛеМессурье в работе [5] предложил практический метод расчета строительных конструкций на устойчивость по деформированной схеме, известный сегодня как метод жесткости или сдвига (ориг. Story stiffness approach) [4]. Приравнивая формулы (10) и (14), полученные из геометрически нелинейного анализа, мы приходим к обобщенному уравнению коэффициента расчетной длины методом сдвига:

. (15)

Данный метод может считаться эффективным в расчетах на устойчивость многопролетных одно- и многоэтажных рам. Он удобен в использовании при непосредственном участии вычислительных комплексов, когда перемещения или сдвиг выбранного этажа Δ₁ вычисляются численным способом, а ΣP, P_i и H выбираются из соответствующей комбинации усилий. Вместе с этим метод по-своему непрост в интерпретации. Коэффициент β весьма труден для точной калькуляции даже для самых простых конструктивных схем. И у данного метода по сути никогда не было аналитического аппарата, позволяющего вычислить коэффициент расчетной длины без применения вычислительных комплексов.

Модификация уравнения

Однако существует вполне четкая видимость в улучшении интерпретации метода сдвига. Работа над модификацией уравнения (15) может представить дополнительные возможности, позволит серьезным образом расширить технику расчетов коэффициента расчетной длины согласно [2][3], при этом не нарушая его целостности.

По названию метода можно заметить, что в уравнении (15) присутствует коэффициент жесткости упругой опоры C_n, определяющий смещение или сдвиг выбранного этажа. Для одноэтажной рамы это обычно смещение поперек в уровне покрытия:

. (16)

Поперечная жесткость, которую способна создать рама, может быть вычислена от единичной силы H = 1. При этом любое единичное перемещение для любой рамы может быть определено через следующее обобщенное уравнение:

, (17)

где α_s – это обобщенный коэффициент жесткости рамы, который зависит от n и p;

EI₁ – изгибная жесткость колонны, относительно которой выражается перемещение Δ₁.

Подставляем (17) в (15):

. (18)

Сейчас отчетливо видно, что коэффициент расчетной длины (18) может быть разбит на три понятных множителя.

Первый множитель обозначим через μ_ef:

, (19)

где ΣP – суммарная действующая сила в уровне выбранного этажа;

P_i и EI_i – сжимающая сила и изгибная жесткость i-й колонны, для которой вычисляется коэффициент расчетной длины;

EI₁ – изгибная жесткость колонны, относительно которой было определено смещение этажа.

Коэффициент μ_ef выполняет часть условий [1, п. 4.7.6]. Он учитывает различия жесткостей колонн, действительные условия нагружения колонн и неравномерность распределения вертикальной нагрузки между колоннами.

Если считается, что колонны нагружены одинаковой сжимающей силой по своду правил [2], то следует очевидный вывод:

, (20)

где k – количество пролетов, при k = 1, μ_ef = 1, при k = 2, μ_ef = и т. д.

Второй множитель обозначим через η:

. (21)

Коэффициент η учитывает закрепления концов колонны и влияние P – δ согласно [1, п. 4.7.6]. Для простоты понимания коэффициент η можно истолковать как коэффициент, зависящий от формы потери устойчивости колонны. Форма потери устойчивости в свою очередь зависит от вида закреплений стержня на концах. Поэтому для консольного стержня максимальный случай β_max = 1,216, при котором η = 1. Для рамного стержня это не так. Любой стержень многоэтажной рамы обычно имеет две упругие опоры защемления, поэтому форма потери устойчивости таких колонн чаще выражается в виде двух антисимметричных полуволн. В свою очередь колонны первого этажа сопряжены либо шарнирно, либо имеют заделку в фундаментах, но все равно имеют одну упругую опору защемления. Подход с β_max и η = 1 часто применяется для упрощения решения одноэтажных рам. В связи с этим коэффициент расчетной длины немногим будет завышен. Н. В. Корноухов [6] в свое время распознавал коэффициент β как некоторый поправочный коэффициент, устанавливающий взаимосвязь между углами касательной, хорды и поворотов колонны для повышения точности расчетов. И для стержня многоэтажной рамы с одинаковой жесткостью примыкающих ригелей пришел к абсолютно такому же выражению, как и ЛеМессурье. Н. В. Корноухов останавливается на среднем значении коэффициента β_avg = 1,1, указывая, что даже грубые формулы при значении β = 1,1 дают достаточную точность. С этим утверждением нельзя не согласиться. Детальная работа над коэффициентом β и его аналитические формулировки были рассмотрены в работе [7]. Здесь же ограничимся только выводами и формулами для расчетов.

Для всех рамных систем, включая одноэтажные рамы с шарнирным прикреплением колонн к фундаментам (включая рамы переменного сечения), рекомендуется следующая линейная зависимость:

β = 1 + 0,1n ≤ 1,216. (22)

Для одноэтажных рам в запас возможно принимать β_max = 1,216 и η = 1. Для регулярных одно- и многоэтажных многопролетных рам, рассчитываемых в упругой области, безопасно принимать усредненное значение β_avg = 1,1 и η_avg = 0,95. Данные значения подтверждаются результатами исследований и расчетами на устойчивость. Исключение составляет рама с заделкой баз колонн в фундаментах. Рекомендуется принимать осредненное значение η_avg = 0,97. Применять формулу (22) для это случая не рекомендуется, так как необъективно создается занижение расчетной длины колонны.

Используя введенные сокращенные обозначения (19) и (21), коэффициент расчетной длины может быть представлен в новом виде:

μ = μ_ef × η × . (23)

Коэффициент α_s может быть получен методами строительной механики. Он достаточно хорошо известен в расчетах, в том числе и на сейсмическое воздействие, и представляет собой обыкновенную функцию α_s(n,p).

Согласно общепринятому подходу, многоэтажные рамы делят на простые равноустойчивые этажи-ячейки (рис. 5) [6]. В выделяемой ячейке колонны имеют одинаковую изгибную жесткость EI₁, а примыкающие к ним сверху и снизу ригели имеют разные изгибные жесткости EI₂ и EI₃. При этом жесткость ригелей между этажами обычно делится пополам.

В самом общем случае сдвиг контурной рамы от единичной горизонтально приложенной силы:

, (24)

где

;

;

n = pψ – безразмерные погонные жесткости контурной рамы по [2];

EI₂, EI₃ – изгибные жесткости ригелей, примыкающие сверху и снизу соответственно.

Другие (частные) случаи получаются путем изменения параметров n, p и ψ.

Например, если жесткости ригелей равны p = n или ψ = 1, тогда:

. (25)

Аналогичным образом составляются и другие коэффициенты α_s. Можно использовать готовые формулы с эпюрами моментов для последующего нахождения поперечного смещения рамы, например по книге Д. В. Бычкова [8]. Для удобства составлена табл. 2 коэффициентов жесткости рамы α_s и коэффициентов расчетных длин μ для элементарных случаев по формулам (23) и (24) при η = 1.

По величине α_s можно также установить тип смещения рамы поперек. При более высоких значениях n и p коэффициент α_s будет стремиться к минимальному значению. Такую раму следует относить к конструкции, работающей преимущественно по сдвиговому механизму (недеформируемый ригель). При более низких значениях n и p коэффициент α_s приближается к максимуму, а рассматриваемая рама относится к изгибаемому типу (ригель имеет крайне низкую изгибную жесткость либо шарнирное примыкание n < 0,1). Колонны многоэтажных каркасов в таких случаях работают преимущественно как свободные консольные стержни. В более общих и практически реализуемых случаях коэффициент α_s оказывается между двумя крайними значениями как функция отношения погонных жесткостей балки и колонны α_s = f(n, p). Работа каркаса происходит по изгибно-сдвиговому механизму и может меняться от этажа к этажу.

Примеры решения задач устойчивости

На основании изложенной теории рассмотрим несколько практических случаев, позволяющих оценить возможности метода сдвига и формулы (23) в создании универсальных аналитических решений для одноэтажных рам.

1. Исследуем двухпролетную раму, показанную на рис. 6а. В результате реконструкции к П-образной раме была пристроена Г-образная рама. Требуется определить μ для каждой из колонн. Исходные данные для расчета: колонны П-образной рамы 20К1, EI₁ = 7923 кНм², ригель 40Б1, EI₂ = 41 239 кНм². Колонна пристройки 25К1, EI₃ = 18 892 кНм², ригель 45Б1, EI₄ = 59 117 кНм². Размеры рамы: h = 6 м, l₁ = 15 м, l₂ = 10 м. P₁ = 90 кН, P₂ = 140 кН, P₃ = 65 кН. ΣP = 295 кН, η_avg = 0,95.

Поперечная жесткость, которую способна создать двухпролетная рама (рис. 6а), состоит из суммы поперечных жесткостей П-образной (рис. 6б) и Г-образной (рис. 6в) рам свободно смещаться поперек:

C_n = C_n,1 + C_n,2 (26)

или в перемещениях:

. (27)

Из (27) находим приведенное поперечное смещение Δ₁ целой конструкции:

,

где

– поперечное смещение П-образной рамы по табл. 2 (рис. 6б);

;

– поперечное смещение Г-образной рамы по табл. 2 (рис. 6в);

;

.

Коэффициент жесткости рамы, показанной на рис. 6, по формуле (27) и подстановке аналитических выражений Δ₁₁ и Δ₁₂:

. (28)

Подсчитываем характеристики рамы:

,

,

,

α_s1 = 1,240, α_s2 = 1,532.

.

Коэффициенты перераспределения μ_ef,i:

Для левой колонны

.

Центральная колонна

.

Правая колонна

.

По формуле (23) вычисляем коэффициенты расчетных длин. Результаты сводим в табл. 3, куда также заносим результаты проверки, сделанные в ЛИРА-САПР, а также расчеты в предположении равномерного нагружения колонн P₁ = P₂ = P₃. Таким же образом можно решить раму со смешанным прикреплением к фундаментам, используя табл. 2.

2. В качестве следующего примера рассмотрим одноэтажную k-пролетную раму (рис. 7а). Задача – создать обобщенную аналитическую формулу для быстрой калькуляции коэффициента расчетной длины μ_i любой колонны.

За эквивалентную систему принимаем Г-образную раму с половиной пролета (рис. 7б).

Эквивалентная изгибная жесткость ригеля складывается из суммы половин пролетов и изгибных жесткостей ригеля:

. (29)

Эквивалентная изгибная жесткость колонны складывается из суммы крайних (которых всегда две) и рядовых колонн:

, (30)

где

– параметр отношения жесткости колонн;

k – число пролетов.

Эквивалентный параметр жесткости рамы n_eq при k одинаковых пролетах с учетом (29) и (30):

, (31)

где

– нормативный безразмерный параметр жесткости.

Единичное перемещение Г-образной рамы с жестким прикреплением к фундаменту от единичной горизонтальной силы, приложенной в рамном узле по табл. 2:

, (32)

где

с учетом подстановки (30) и (31).

Для случая, если рама имеет шарнирное сопряжение с фундаментами, следует использовать другое выражение и коэффициент α_s:

, (33)

.

Суммарная сила, когда колонны нагружены неравномерно:

. (34)

Пусть жесткость крайних колонн EI₁ = 4002 кНм², жесткость рядовых колонн EI₂ = 7286 кНм² и изгибная жесткость ригелей EI₃ = 7286 кНм². Сжимающие силы: крайняя колонна P₁ = 10 кН, рядовая колонна P₂ = 30 кН. Размеры рамы: h = 6 м, l = 15 м. η_avg = 0,97.

Вычисляем характеристики рамы:

,

.

Создадим сравнительную табл. 4. Посчитаем раму с защемлением в фундаментах по рис. 7а с числом пролетов до k = 8 и сравним значения μ по (23) и ЛИРА-САПР.

Между коэффициентами расчетных длин μ₁ и μ₂ существует взаимосвязь. Если приравнять выражения коэффициентов расчетных длин μ₁ и μ₂ через сумму сил ΣP, то будет получено равенство:

. (35)

3. Следующим примером разберем один из частых случаев в расчетах на устойчивость. Задача – создать универсальное уравнение коэффициента расчетной длины при любой комбинации сил и длинах колонн. Две консольные колонны шарнирно соединены балкой (или фермой), которая загружена силой P. Сила P находится не на середине пролета, что имитирует комбинацию с неравномерным распределением нагрузки в пролете. Расчетная схема показана на рис. 8а.

Деление сжимающей силы между колоннами на P₁ и P₂ (рис. 8б) принимается на основании линейного закона:

P₁ = (1 – a)P и P₂ = aP. (36)

Коэффициент расчетной длины для такого случая не будет μ₁ = μ₂ = 2. Как и перемещения оголовков колонн, при приложении единичной горизонтальной силы не будут равны своему консольному значению. Очевидно, что перед нами один раз статически неопределимая система (рис. 9), предварительно требующая раскрытия неопределимости.

Изгибающие моменты в расчетной системе при действии горизонтально действующей силы H = 1, найденные методом сил:

,

, (37)

где

;

.

Перемещение статически неопределимой системы получим путем перемножения расчетной M_p и единичной эпюр M₁ методом Верещагина (рис. 9):

. (38)

Из формул (37) и (38) становится вполне очевидно, что взаимосвязь значительно сложнее, чем можно подумать. Соответственно, можно уже сказать, что μ = 2 – это всего лишь частный случай.

Далее (38) подставляем в уравнение коэффициента расчетной длины (23):

, (39)

. (40)

Либо составляя пропорцию, как и для (35), при которой коэффициенты расчетных длин будут выражены как:

. (41)

Если же сила приложена на левой опоре, то есть a = 0, тогда уравнение (39) обратится в:

. (42)

При m³r_s = 3 μ₁ = 1. Если m³r_s ≈ 1, то имеем тривиальный случай, при котором μ₁ = 1,414. Если же m³r_s ≈ 0, система обращается в консольный случай. Такое возможно, если жесткость EI₂ чрезвычайно мала либо высота левой колонны значительно больше правой h₁ ≫ h₂. Задачу можно решить и методом приведенной жесткости по (26), в том числе и для n-го количества стержней. Данный подход полезен при рассмотрении эстакад, галерей и объектов реконструкции с присоединением новых элементов.

Согласно [3, табл. 24] и уравнению (4), приведена частная схема (рис. 10а), когда C_m = 0, но C_n ≠ 0.

Для этой схемы коэффициент расчетной длины μ₁ подсчитывается по следующей формуле:

,

2 ≥ μ₁ ≥ 0,7, (43)

где

,

C_n – коэффициент жесткости упругой опоры, равный значению реактивной силы, возникающей в опорном сечении при смещении его на 1.

Согласно [3, табл. 25], для рассматриваемого случая:

. (44)

Подставляем (44) в n₁:

.

Затем (44) в коэффициент расчетной длины (43):

. (45)

Получили по виду аналогичное уравнению (42). При m³r_s ≈ 4,5 μ₁ = 1. Если то m³r_s ≈ 0, то μ₁ = 2. Если m³r_s ≈ 1, то μ₁ = 1,414.

Сравним полученные формулы (42) и (45) с расчетом в ЛИРА-САПР. Для этого составим табл. 5. Будем варьировать отношение , а EI₂ = EI₁. Результаты по трем вариантам расчета согласуются друг с другом. При этом нормативное уравнение (45) будет стремиться к минимуму, μ = 0,7 при росте n₁. А решение (42), как и численный расчет, при росте n₁ будет стремиться к нулю.

Заключение

Продемонстрированная методика расчета может быть распространена на множество других задач, в том числе и на любого вида многоэтажные рамы, рамы переменного сечения, системы с колоннами, теряющими устойчивость вынуждено, и т. д. Метод весьма гибок и представляет возможность создать дополнительный набор уравнений μ, не противоречащий своду правил [2]. В качестве такого примера в дополнительной табл. 6 приведены две частные формулы для наиболее часто встречаемого случая двухпролетных рам.