Квазиортотропная деформационная теория пластичности каменных кладок при плоском напряженном состоянии

Введение

Выполнение расчетов каменных конструкций с учетом физической нелинейности при сложных напряженных состояниях является важной задачей обеспечения надежности зданий в рамках как реконструкции, так и нового строительства. Актуальность расчетов в условиях плоского напряженного состояния возрастает для строительства сейсмостойких зданий, каменные стены которых обеспечивают горизонтальную жесткость, а их нелинейное поведение под нагрузкой обеспечивает демпфирование и уменьшает сейсмическую реакцию конструктивной системы здания в целом.

В инженерной практике наиболее распространенным методом анализа сейсмостойкости является линейно-спектральный метод. В рамках этого метода рассматривается упругая работа системы, а уменьшение сейсмической нагрузки за счет нелинейных эффектов косвенно учитывается согласно СП 14.13330.2018 «СНиП II-7-81* Строительство в сейсмических районах» [1] коэффициентом допускаемых повреждений К₁. В нормах европейского сообщества Eurocode 8 (EN 1998-1) [2] введен аналогичный коэффициент поведения q. Авторы работ [3][4] указывают на слабую обоснованность данного коэффициента, в частности в работе [3] отмечается его историческое изменение для каменных конструкций.

Использование нелинейных моделей материалов позволяет обосновать сейсмостойкость здания без использования косвенных коэффициентов. При анализе сейсмостойкости с учетом нелинейной работы материала в рамках деформационной теории может быть использован нелинейный статический метод (Pushover Analysis) [4]. При отсутствии цикличности в рамках метода реализуется простой тип нагружения, когда компоненты девиатора напряжений возрастают пропорционально одному параметру, что позволяет использовать для такого расчета предпосылки деформационной теории. Феноменологические подходы требуют большого представительного объема данных для анализа в отличие от микромоделей [5], однако более оптимальны для инженерного расчета зданий и сооружений. При сравнении с теориями типа течения [6][7] они позволяют реализовать большее количество механизмов разрушения, задавая сложную объединенную фигуру прочности материала, решая проблему сингулярности предельных поверхностей нагружения. В работе [8] использование деформационной теории бетона [9] для каменных кладок показало наилучшее соответствие с результатами эксперимента при уровнях нагружения 0,5–0,75 от предельной вертикальной силы, недооценив несущую способность при малых величинах обжатия, что говорит об актуальности совершенствования деформационной теории.

Основные гипотезы

Описанная в статье квазиортотропная деформационная теория для каменных кладок основана на работах [9–12]. Модель расширена на случай ортотропного материала в сравнении с [11][12] и учитывает дилатационные эффекты в отличие от [10]. В модели рассматривается обобщенное плоское напряженное состояние, то есть учитываются деформации из плоскости нагружения, возникающие за счет коэффициента поперечной деформации.

Для установления деформационных зависимостей выдвигается ряд гипотез:

– сдвиговая деформация на октаэдрических площадках γ_o является непрерывной нелинейной функцией октаэдрического касательного напряжения τ_o, вида напряженного состояния ξ и угла между главными напряжениями и осями ортотропии α;

– средняя деформация ε_o является непрерывной нелинейной функцией октаэдрического нормального (среднего) напряжения σ_o, вида напряженного состояния ξ и угла между главными напряжениями и осями ортотропии α;

– основные физические соотношения в начальной точке деформирования должны соответствовать закону Гука для линейно-упругого изотропного тела;

– предельная поверхность в осях главных напряжений и деформаций соответствует поверхности для ортотропного материала и является функцией вида напряженного состояния ξ (или ω, χ) и угла между главными напряжениями и осями ортотропии α.

Разрабатываемая модель не учитывает развитие деформационной анизотропии. Данный вопрос представляет особый интерес будущих исследований.

Обобщенный закон Гука для нелинейно-упругого тела

Введем ортогональную систему координат XYZ, такую, что направление оси X будет параллельно горизонтальным растворным швам кладки, а Y – параллельно вертикальным швам.

В работе [13] показано, что при статическом расчете каменных конструкций, кладка которых выполнена из керамического полнотелого и пустотелого (с пустотностью до 25 %) кирпича, ее деформационные характеристики следует принимать как для изотропных материалов.

Используя нотацию Фойгта, тензоры напряжений и деформаций могут быть представлены в виде шестимерных векторов σ и ε соответственно. Тогда обобщенный закон Гука для изотропного материала может быть записан в матричном виде:

, (1)

или в сокращенной форме:

ε = Sσ, (2)

где S – матрица податливости.

Поскольку в рамках деформационной теории решается задача о нелинейно-упругом теле, вместо постоянных параметров упругости, составляющих матрицу податливости, могут быть рассмотрены их секущие (редуцированные) значения, решая линейную задачу упругости на каждом шаге нагружения. При этом деформационные зависимости, характеризующие нелинейное поведение, определяются обобщенными кривыми деформирования τ_o – γ_o и σ_o – ε_o.

Действительные значения редуцированных технических характеристик (модуля деформации E_red и коэффициента поперечной деформации ν_red) могут быть выражены через известные значения (по зависимостям τ_o – γ_o и σ_o – ε_o) секущего модуля сдвига G_red = G₀/ψ и секущего модуля объемной деформации K_red = K₀/φ (рис. 1):

(3)

где ψ и φ – параметры пластичности, определяемые в следующем разделе статьи.

На рис. 1 в относительных координатах отражен характер изменения коэффициента поперечной деформации ν в процессе нелинейного деформирования в зависимости от вида обобщенных кривых τ_o – γ_o и σ_o – ε_o. При К = К₀ = ∞ (рис. 1а) коэффициент ν = 0,5 при любом уровне напряжений, что соответствует поведению несжимаемого тела (модель каменной кладки Тюпина [10]), при К = const = К₀ (рис. 1б) коэффициент ν нелинейно увеличивается вплоть до значения, равного 0,5. При учете дилатации (нелинейной зависимости σ_o – ε_o) (рис. 1в) коэффициент ν сначала нелинейно уменьшается, а затем возрастает также вплоть до значения 0,5.

Кривые деформирования

Для определения нелинейного поведения кладки в процессе нагружения в рамках рассматриваемой модели требуется задание двух обобщенных кривых деформирования: τ_o – γ_o и σ_o – ε_o (гипотезы 1 и 2 соответственно), затем определение функциональных зависимостей для параметров пластичности ψ и φ.

Для учета разупрочнения материала требуется задание кривых с ниспадающей ветвью. В работе [14] приведен обзор известных зависимостей σ – ε для случая одноосного сжатия кладочных образцов. Можно выделить два типа диаграмм: трех- и пятипараметрические. Поведение ветви разупрочнения трехпараметрической диаграммы определяется соотношением начального E₀ и секущего в предельном состоянии E_u модулей. В работе [14] показана хорошая корреляция такой зависимости с экспериментальными данными для кладки из бетонных блоков.

В работе [15] на основе экспериментальных исследований [16] показано, что на постпиковое поведение кирпичной кладки влияет вид используемого раствора, так образцы с добавками извести показали более пластическое поведение. Для более точного задания ниспадающей зависимости может использоваться пятипараметрическая диаграмма, приведенная в работе [15].

При построении зависимости τ_o – γ_o использовано трехпараметрическое уравнение вида (рис. 2):

(4)

где G₀ – начальный модуль сдвига;

τ_u – предельное октаэдрическое касательное напряжение;

γ_u – предельная октаэдрическая сдвиговая деформация.

Уравнение (4) позволяет получить требуемый характер постпикового поведения кладки в области растяжения и сжатия. Так, при стремлении отношения G_u/G₀ к единице (рис. 2) разрушение имеет хрупкий характер, что характерно для работы кладки при растяжении; при уменьшении данного соотношения разрушение имеет более выраженный пластический характер, как при работе кладки на сжатие.

Каменная кладка является дилатирующим материалом, на что указывают экспериментальные исследования, например в работе [17] приведены нелинейные зависимости осевого напряжения как функции объемной деформации. Введем условие, согласно которому в предельном состоянии коэффициент поперечной деформации ν достигает значения 0,5, что соответствует значению объемного модуля деформации K = ∞, тогда нелинейная зависимость σ_o – ε_o может быть представлена в виде (рис. 2):

, (5)

где K₀ – начальный объемный модуль упругости;

σ_u – предельное октаэдрическое нормальное напряжение;

σ′ = 3σ_u/4 – напряжение макротрещинообразования.

Для описанных кривых деформирования могут быть определены функциональные зависимости (рис. 1):

параметр пластичности по сдвиговым деформациям:

(6)

параметр пластичности по объемным деформациям:

(7)

Вид кривых ψ и φ зависит от значений следующих переменных характеристик, выражаемых как функции нескольких переменных:

(8)

где α – угол между главными напряжениями и осями ортотропии;

ξ = σ_o/τ_o – параметр вида напряженного состояния;

ω, χ – параметры вида деформационного состояния.

Для описания функциональных зависимостей (8) требуется задание предельной кривой прочности (фигуры прочности) в осях главных напряжений и предельной поверхности в осях главных деформаций.

Фигура прочности каменной кладки в осях главных напряжений

Фигура прочности каменной кладки может быть описана системой уравнений, ограничивающей область допускаемых напряжений в пространстве главных напряжений.

Фигура прочности базируется на экспериментальных исследованиях [18, 19], выполненных на образцах из керамических кирпичей, и не учитывает увеличение двухосной прочности кладки при повышении относительной прочности раствора в современных кладках [20].

В работе [21] в области двухосного сжатия (C1, C3 на рис. 3) и растяжения (T1, T3 на рис. 3) фигура прочности кладки принимается по теории максимальных нормальных напряжений. Компоненты вектора предельного напряжения в главных осях при сжатии R_c,31 = (R_c3, R_c1)^T и растяжении R_t,31 = (R_t3, R_t1)^T для заданного напряженного состояния выражаются через предельные напряжения в осях ортотропии R_{c, uv} = (R_cu, R_cv)^T и R_{t, uv} = (R_tu, R_tv)^T соответственно в области двухосного сжатия и растяжения по формулам:

, (9)

где А – матрица поворота.

Предельная кривая прочности при действии главных растягивающих напряжений (TQ на рис. 3) может быть представлена в виде квадратичной параболы, огибающей предельные круги Мора при одноосном растяжении и сжатии. Уравнение такой параболы имеет вид:

, (10)

где σ_x – нормальное напряжение на площадке предельных касательных напряжений;

R_tw – расчетное сопротивление главным растягивающим напряжениям, которое в общем случае определяется экспериментально, а при условии огибания предельных кругов Мора может быть выражено через расчетные сопротивления при одноосном сжатии и растяжении.

Индексы в уравнении (10) указывают на то, что значение соответствующих расчетных сопротивлений, вычисляемых по формулам (9), берутся на взаимно перпендикулярных главных площадках.

Напряжения на главных площадках σ₃₁ = (σ₃, σ₁, 0)^T могут быть выражены через напряжения на площадках предельных касательных напряжений σ_xy = (σ_x, σ_y, τ_xy)^T по формуле:

, (11)

где В – матрица поворота;

β – угол между максимальным главным напряжением и нормальным напряжением на предельной площадке сдвига.

Таким образом, уравнение (10), соответствующее условию прочности при действии главных растягивающих напряжений, может быть представлено в главных напряжениях в виде функции f (σ₃, σ₁), заданной параметрически через σ_x:

, (12)

где

При увеличении угла α между горизонтальными швами кладки и площадками главных напряжений разрушение происходит за счет сдвига по неперевязанным швам. Данное предельное состояние (SQ на рис. 3) в осях ортотропии нормами представлено в виде уравнения τ_uv = R_sq – μσ_u. Согласно уравнению (11), оно может быть преобразовано к функции в координатах главных напряжений:

. (13)

Уравнения (9), (12), (13) в координатах главных напряжений ограничивают область допускаемых напряжений и формируют объединенную фигуру прочности. На рис. 3 представлены конфигурации данной фигуры при разных углах α наклона главных осей к осям ортотропии.

Таким образом, зная фигуру прочности каменной кладки, можно описать поверхности предельных напряжений σ_u = f (ξ, α), τ_uv = f (ξ, α) (рис. 4).

Предельная поверхность в осях главных деформаций

Поскольку для анизотропного тела векторы октаэдрического касательного напряжения и октаэдрической сдвиговой деформации не коллинеарны в пространстве главных деформаций, то для задания функции γ_u = f (ω, χ, α) введем предельную поверхность по типу Сен-Венана (рис. 5а), ограничивающую три главных напряжения в зоне растяжения.

Тогда для каждого радиус-вектора может быть определено значение предельной сдвиговой деформации γ_u (рис. 5б) и в общем случае предельной средней деформации ε_u (рис. 5в) путем разложения полного вектора ε на его составляющие.

Заключение

Описана деформационная теория каменных кладок как квазиортотропного материала с учетом ортотропии прочностных свойств и без учета деформационной анизотропии. Предложена фигура прочности каменных кладок при плоском напряженном состоянии, зависящая от угла между главными осями и осями ортотропии. Описана методика трансформации двух базовых кривых деформирования каменных кладок.

Полученные результаты позволяют производить расчет неармированных каменных кладок стен по деформационной теории путем трансформации кривых деформирования с учетом вида напряженного состояния и угла поворота главных осей относительно осей ортотропии.