Напряженно-деформированное состояние каменных крестовых сводов

Введение

В исторических зданиях, построенных до 1917 г., широкое применение нашли перекрытия в виде крестовых сводов (рис. 1). Характерной особенностью крестовых сводов является передача давления посредством ребер в четыре угловые «точки» (на колонны), что обусловило применение данных сводов для перекрытия помещений (пространств), к которым предъявлялись требования хорошей освещенности и «свободной планировки» (рис. 1а). Также крестовыми сводами перекрывались помещения, ограниченные стенами (рис. 1б).

Геометрически крестовые своды образованы пересечением двух цилиндрических сводов с последующим «сохранением» верхних частей – распалубок (рис. 2а). При этом каждую из распалубок возможно рассматривать как составленную из условных арок (рис. 2б), передающих усилия на ребра, которые передают их на опоры посредством опорных консолей (выносных пят). Следует отметить, что ребра крестовых сводов (при отсутствии их утолщения в виде гурт и пр.) не являются отдельными конструктивными элементами и обусловлены «геометрией» формирования примыкающих друг к другу распалубок. Кладка опорных консолей крестовых сводов перевязывалась с кладкой опорных конструкций, а щеки сводов не имели опирания на стены (распалубки вплотную примыкали к стенам).

Крестовые своды устраивались как пологими – с отношением стрелы подъема к пролету f/L = 0,1, так и полуциркульными – с отношением f/L = 0,5, а также с промежуточными значениями данного отношения (рис. 2в). Поверх крестовых сводов устраивалась засыпка, сверху – деревянный пол.

Конструктивно-технологические аспекты устройства сводов описаны в работах [1–5] XIX – начала XX века. Расчет того времени предусматривал подход, в котором своды рассматриваются как элементы, «собранные» из отдельных клиньев с последующим построением и анализом кривой давления [6][7]. При этом уже в то время каменные своды не рассматривались для потенциального применения в новых зданиях, что было обусловлено переориентацией конструктивных решений перекрытий на плоские по стальным балкам и железобетонные. В итоге на протяжении всего советского периода каменные своды воспринимались как конструкции в составе объектов реставрации и реконструкции, а расчет предусматривал подход, в котором они рассматриваются как элементы, «собранные» из трех-, двух- и бесшарнирных арок, определение усилий в которых выполняется по общим правилам строительной механики [8][9]. Современные конечно-элементные расчетные комплексы дают возможность для более детального анализа работы сводов.

Ниже представлены результаты анализа напряженного-деформированного состояния крестового свода пролетом L = 5 м, толщиной t = 0,25 м, шириной опорных консолей d = 0,5 м, с первоначальным отношением стрелы подъема к пролету f/L = 0,3 и последующим варьированием данного отношения f/L = (0,1÷0,5). Численный анализ выполнен в комплексе конечно-элементного моделирования высокого уровня в твердотельной постановке. Граничные условия задавались с учетом описанных выше конструктивных особенностей устройства опорных консолей, для которых задано жесткое сопряжение на опорах, и щековых участков, для которых ограничивались лишь горизонтальные перемещения в направлении «от сводов». Плотность кладки свода принята равной 2000 кг/м ³, плотность засыпки – 1000 кг/м ³ (засыпка принята устроенной выше шелыги на половину толщины свода). Сверху задана обобщенная равномерно-распределенная нагрузка 5 кПа (стяжка, пол, полезная нагрузка, временные перегородки).

Числовые значения границ цветовых шкал изополей и числовые значения оси ординат графиков соответствуют значениям расчетных сопротивлений кладки сжатию и растяжению при изгибе в соответствии с СП 15.13330.2020 [10], что дает возможность использовать результаты нижеприведенных численных исследований для кладок с различными марками кирпича и раствора.

Анализ напряженно-деформированного состояния крестового свода

Деформированное (и, соответственно, напряженное) состояние крестового свода обусловлено работой условных арок распалубок «по арочной схеме» с передачей усилий на ребра (рис. 3). Горизонтальные составляющие равнодействующих усилий (распор) в арках при их сопряжении с условными ребрами уравновешиваются распором арок примыкающих распалубок. Вертикальные составляющие усилий передаются на условные ребра, которые передают их на опорные консоли также «по арочной схеме». При этом ребра испытывают существенно большие деформации по сравнению с арками (u > u`). По сути, именно деформирование ребер (их жесткость) определяет общее деформирование крестового свода «по плитной схеме» с «провисанием» центральной области.

Растягивающие напряжения наибольшей интенсивности действуют (рис. 4):

– снизу свода в его центральной области при сопряжении распалубок с ребрами на некотором расстоянии от центра (точки 1). Напряжения σ₁ ориентированы поперек ребер, при этом напряжения, ориентированные вдоль ребер, стремятся к нулю (одноосное растяжение). Непосредственно в центре свода (точка 2) интенсивность напряжений σ₁ меньше, однако в ортогональном направлении действуют растягивающие напряжения σ₂, значения которых равны значениям напряжений σ₁ (двухосное растяжение равной интенсивности). При этом в центральной области свода по осям распалубок (линии 2–3) действуют напряжения σ₁ и σ₂, значения которых соизмеримы и ориентированные вдоль и поперек осей распалубок (двухосное растяжение равной интенсивности);

– снизу свода по его периметру посередине распалубок (точки 3 на осях распалубок у щек), где их интенсивность в среднем в два раза меньше интенсивности напряжений в центре свода. Напряжения σ₁ ориентированы вдоль условных арок распалубок свода, при этом напряжения в ортогональном направлении стремятся к нулю (одноосное растяжение);

– сверху свода по его периметру в крайних третях распалубок (точки 4, при уменьшении отношения f/L данные области перемещаются к опорным консолям). Интенсивность напряжений σ₁ существенно меньше, чем в центральной области (в среднем в 3 раза), при этом в ортогональном направлении (вдоль условных арок распалубок) действуют сжимающие напряжения σ₃ (рис. 5), интенсивность которых на порядок больше интенсивности напряжений σ₁. Эти обстоятельства позволяют не рассматривать данные области при анализе образования первичных трещин в своде.

Сжимающие напряжения наибольшей интенсивности действуют (рис. 5):

– снизу свода у опор вдоль его ребер (точки 5 и опорные консоли в целом). Напряжения σ₃ в опорных консолях ориентированы к опорной точке, при этом в ортогональном направлении напряжения стремятся к нулю (одноосное сжатие). Следует отметить, что интенсивность напряжений σ₃ в опорных консолях в среднем в два раза больше, чем в центральной области;

– сверху свода в центральной области вдоль ребер на некотором расстоянии от центра (точки 6). Напряжения σ₃ ориентированы поперек ребер свода (к опорам напряжения σ₃ ориентированы вдоль ребер). Вдоль ребер действуют сжимающие напряжения σ₂, интенсивность которых близка к интенсивности напряжений σ₃. Непосредственно в центре свода (точка 7) интенсивность напряжений σ₃ меньше, однако значения σ₃ и σ₂ равны друг другу. При этом во всей центральной области свода действуют напряжения σ₃ и σ₂, значения которых соизмеримы и ориентированные вдоль и поперек осей распалубок (двухосное сжатие равной интенсивности).

Интенсивность как растягивающих, так и сжимающих напряжений во всех анализируемых точках увеличивается при уменьшении отношения f/L от 0,5 до 0,1 (рис. 6). При f/L < 0,3 наблюдается резкое увеличение напряжений, что наиболее существенно проявляется при f/L < 0,2. Так, растягивающие напряжения σ₁ в точке 1 при уменьшении f/L от 0,5 до 0,3 увеличиваются на 15 %, при уменьшении f/L от 0,3 до 0,2 увеличение составляет 35 %, от 0,2 до 0,1 – 115 %.

Аналогичным закономерностям подчиняются вертикальные перемещения свода и распор в опорных консолях (рис. 7). При уменьшении f/L от 0,5 до 0,1 величина распора H увеличивается более чем в 2 раза, вертикальные перемещения центра свода – более чем в 4 раза. Уменьшение вертикальной составляющей опорной реакции V при уменьшении f/L от 0,5 до 0,1 объясняется уменьшением объема как кладки свода, так и устроенной по нему засыпки.

Прочностной анализ крестового свода

Существенной при проведении прочностного анализа крестового свода оказывается система устройства кладки (перевязка кладки распалубок). Кладка распалубок производилась со швами (горизонтальными швами кладки), нормальными или к щековым поверхностям (рис. 8а), или к диагональным ребрам (рис. 8б). При этом первый вариант встречается при обследовании исторических зданий существенно чаще.

Выше обосновано, что как растягивающие, так и сжимающие напряжения наибольшей интенсивности действуют снизу свода, в связи с чем на рис. 8 на одной из распалубок показано напряженное состояние свода «в укрупненном виде». Из рисунка видно, что как сжимающие, так и растягивающие напряжения действуют под разными углами относительно горизонтальных растворных швов (далее – опорных швов) в зависимости от местоположения анализируемой точки и системы перевязки кладки.

Характерной особенностью кирпичной кладки является анизотропия ее прочности, при которой сопротивление как сжатию, так и растяжению зависит от ориентации данных усилий относительно опорных швов [11] (рис. 9а, б). Анализ прочности кладки при двух­осном напряженном состоянии возможно вести, основываясь на эмпирических критериях прочности. В российской практике наиболее известным является эмпирический критерий прочности Г. А. Гениева [12] (рис. 9в), за рубежом – критерий, предложенный A. W. Page [13] (рис. 9г).

Показано, что в центральной области снизу свода по осям распалубок складывается двухосное растяжение равной интенсивности. При первом варианте перевязки кладки (рис. 8а) растягивающие напряжения действуют под углом 0° и 90° к опорным швам (растяжение по перевязанным и неперевязанным сечениям), при втором варианте (рис. 8б) – под углом 45° к опорным швам. При любом из обозначенных вариантов перевязки сопротивление кладки двухосному растяжению характеризуется как крайне низкое (рис. 9в, г). По периметру свода посередине распалубок (на осях распалубок у щек) растягивающие напряжения σ₁ действуют (рис. 8): при первом варианте перевязки кладки – под углом 90° к опорным швам (растяжение по неперевязанным сечениям), при втором варианте – под углом 45° к опорным швам (растяжение по условно перевязанным сечениям). При этом интенсивность напряжений в среднем в два раза меньше интенсивности напряжений в центре свода.

При обследовании крестовых сводов наиболее часто фиксируются трещины, развивающиеся именно вдоль осей распалубок (рис. 10) и в первую очередь в центральной области свода (при этом возможно провисание центральной области), с последующим развитием трещин вдоль осей к щекам. Данная картина поврежденности наиболее выражена для пологих сводов, что обосновывается результатами выполненных численных исследований (рис. 6, 7). При этом инициирующим фактором появления трещин может явиться, например, подвижка опор свода из-за неравномерных осадок фундаментов, податливости опор распору и пр. (распор в опорных консолях также возрастает при уменьшении отношения f/L).

При сопряжении распалубок с ребрами свода значения растягивающих напряжений больше, чем во всей центральной области, однако в данных зонах формируется одноосное растяжение, при котором напряжения σ₁ действуют: при первом варианте перевязки кладки – под углом 45° к опорным швам (растяжение по условно перевязанным сечениям), при втором варианте перевязки – 0° к опорным швам, то есть вдоль опорных швов (растяжение по перевязанным сечениям). Сопротивление кладки растяжению по перевязанным швам выше сопротивления двухосному растяжению. В итоге трещины при сопряжении распалубок с ребрами образуются «во вторую очередь», то есть после существенного развития вышеописанных повреждений (рис. 10б). Также трещины в данных зонах образуются при неравномерных подвижках опор свода.

В опорных консолях сжимающие напряжения действуют: при первом варианте перевязки кладки (рис. 8а) – под углом 45° к опорным швам, когда сопротивление кладки сжатию минимально (рис. 9б), при втором варианте (рис. 8б) – под углом 90° к опорным швам.

Из рис. 6б видно (кривая 5), что при отношении f/L > 0,3 сжимающие напряжения близки к расчетному сопротивлению кладки сжатию R = 0,7 МПа в соответствии с СП 15.13330.2020 [10] для кирпича марки М50 и раствора марки М10, при f/L = 0,2 – к значению R = 1,2 МПа для кирпича марки М125 и раствора марки М10, а при f/L = 0,1 – к значению R = 2,2 МПа для кирпича марки М150 и раствора марки М100. При этом регламентированные СП 15.13330.2020 [10] расчетные сопротивления R установлены из испытаний, когда сжимающие усилия действуют под углом 90° к опорным швам (R = R₉₀). Для крестовых сводов при первом варианте перевязки кладки, когда сопротивление кладки сжатию R₄₅ существенно (до пяти раз) меньше приведенных выше значений R₉₀ = R, напряжения в опорных консолях становятся критическими, а для пологих сводов могут на порядок превышать значения R₄₅.

Однако при обследовании каменных крестовых сводов ситуации силового раздробления кладки опорных консолей встречаются редко (в основном фиксируются трещины в распалубках). Объясняется это тем, что сжимающие напряжения указанной интенсивности действуют в локальной области, средние напряжения в опорных консолях существенно меньше. Кроме этого, расчетные сопротивления кладки сжатию R установлены [14] исходя из механизмов разрушения вертикальных образцов (стены, колонны) на центральное сжатие – механизм потери устойчивости «столбиков», на которые разделили кладку трещины. В итоге предельные напряжения в опорных консолях должны регламентироваться сопротивлением кладочных элементов местному сжатию (раздробление кладки консолей), что требует проведения дополнительных исследований.

Далее следует отметить, что верхняя центральная область свода испытывает двухосное сжатие равной интенсивности (рис. 5), при котором кладка характеризуется наибольшим сопротивлением (рис. 9в, г).

Заключение

Существенное влияние на формирование напряженно-деформированного состояния крестового свода оказывает отношение стрелы подъема к пролету f/L. Как растягивающие, так и сжимающие напряжения в областях с наибольшей их интенсивностью возрастают при уменьшении отношения f/L. При f/L < 0,3 наблюдается резкое увеличение напряжений, что наиболее существенно проявляется при f/L < 0,2. Аналогичным закономерностям подчиняются вертикальные перемещения свода (центральной области) и величина распора в опорах.

Наиболее неблагоприятное напряженное состояние складывается в центральной области крестового свода снизу по осям распалубок, где формируется двухосное растяжение равной интенсивности, сопротивление которому характеризуется как крайне низкое. Данное обстоятельство обосновывает образование фиксируемых при обследовании трещин вдоль распалубок, которые получают свое развитие из центра свода. При этом именно в пологих сводах фиксируется наибольшая степень поврежденности.

Существенное значение для прочности крестового свода имеет система устройства кладки (перевязка кладки распалубок). Так, сжимающие усилия в опорных консолях могут действовать (в зависимости от системы перевязки) как под углом 90°, так и под углом 45° к горизонтальным растворным швам. Сопротивление кладки при данных значениях угла может отличаться до пяти раз. Аналогично для растягивающих усилий, когда сопротивления растяжению по перевязанным и неперевязанным сечениям характеризуются различными значениями.

Отмеченные обстоятельства необходимо учитывать при обосновании картины поврежденности крестовых сводов исторических зданий и при проведении их поверочных расчетов.