Экономия стали в колонне промышленного здания при учете влияния жесткости подкрановой балки

Введение

Одной из ключевых задач строительной науки является получение экономии материала при проектировании стального каркаса. В настоящей работе показано, как учет жесткости подкрановых балочных конструкций промышленного здания позволяет получить экономию материала при проектировании колонн промышленного здания.

На устойчивость колонны в горизонтальной плоскости влияет жесткость подкрановой балки, включающей в себя непосредственно саму балку и тормозную конструкцию.

Рассмотрим случай, когда подкрановая конструкция в вертикальной плоскости представляет собой шарнирно опертую на колонну разрезную балку, а в горизонтальной – неразрезную (неразрезность конструкции обеспечивает тормозной лист подкрановой конструкции).

Цель работы: получение экономии стали при учете влияния жесткости подкрановой балки на устойчивость каркаса промышленного здания.

Задачи исследования:

• построение расчетной схемы колонны промышленного здания с введением в нее «пружинной» опоры и без нее;
• определение жесткости неразрезной подкрановой балки в горизонтальной плоскости;
• определение жесткости упругоподатливой опоры, моделирующей влияние подкрановой балки на колонну;
• построение блок-схемы для определения критических сил и коэффициентов приведенной длины;
• расчет коэффициента приведенной длины для нижней и верхней частей колонны при разных отношениях критической силы, отношениях моментов инерции и отношениях площадей сечений;
• определение критических сил и коэффициентов приведенной длины без учета влияния подкрановой балки;
• построение графиков зависимости коэффициентов приведенной длины от отношения критических сил, моментов инерции и площадей сечений;
• сравнение результатов определения критических сил и коэффициентов приведенной расчетной длины при учете воздействия подкрановой балки и без ее воздействия на колонну;
• анализ полученных результатов и определение экономии стали при проектировании колонн с учетом воздействия подкрановых конструкций на них.

Для реализации поставленной цели предварительно найдем жесткость упругоподатливой опоры, моделирующей жесткость подкрановой балки методом сил.

Расчетная схема подкрановой неразрезной четырехпролетной балки без упругоподатливой опоры и с ее учетом представлены на рис. 1 и 2 соответственно.

Определение жесткости подкрановой балки (рис. 2) сводится к нахождению податливости элементов системы.

На данную четырехпролетную подкрановую балку наложено 5 связей (4 опоры, дающие реакцию в вертикальном направлении, и одна по горизонтали). Система дважды статически неопределима, поэтому для нахождения неизвестных недостаточно одних лишь уравнений статики. Поскольку система симметрична относительно точки приложения силы. Рассматривая систему с этой позиции, разрежем балку по центральному сечению и отбросим правую часть. Возникают три силовых фактора: продольная сила реакции N, вертикальная сила реакции Q и момент R. В силу симметричности системы и симметрии приложения нагрузки кососимметричный фактор Q равняется нулю; N также равняется нулю из уравнения статики. Таким образом, если рассматривать систему, разрезав ее пополам, получается система один раз статически неопределима (рис. 3). Для раскрытия этой неопределимости используем метод сил, чтобы найти все неизвестные реакции.

Неизвестный силовой фактор R найдем из канонического уравнения метода сил [1]. Прикладываем единичный момент, где приложен момент R, строим соответствующую эпюру, находим реакции в пружинах (рис. 4):

Эпюра от заданной силы P/2 представлена на рис. 5.

Записываем каноническое уравнение метода сил и по правилу Верещагина определяем коэффициенты δ₁₁ и δ_1P:

δ_1F + R × δ₁₁= 0;

δ₁₁ =

δ_1P = –,

где l – длина подкрановой балки;

EЈ – жесткость балки;

c – коэффициент податливости упругой опоры.

Неизвестный силовой фактор R равняется:

R = –.

Перемещение в центральной точке равняется P × c (осадка упругих опор). Приложим силу в центре, то есть ½ P к отброшенной части симметричной заданной системы. Эпюра от единичной силы ½ P представлена на рис. 6.

Далее решаем интеграл Мора графически по правилу Верещагина:

ω = δ₂₂ × P + δ₂₁ × R

δ₂₂ =

δ₂₁ =δ_1P

ω = δ₂₂ × P + δ₂₁ × R = = P × c.

После преобразований получим уравнение:

Найдем с по формуле для корней и отбросим корень с отрицательной частью. В результате податливость С подкрановой балки равняется:

С =,

Жесткость, j – обратная величина податливости:

j =.

Решение задачи об определении критических сил методом перемещений сводится к отысканию минимального корня уравнения устойчивости, получаемого приравниванием к нулю определителя. Составим расчетную схему колонны с учетом жесткости подкрановой балки промздания и построим эпюры методом перемещений [1] (рис. 7).

Запишем систему канонических уравнений метода перемещений с учетом упругоподатливой опоры, используя критические табличные параметры φ_i(v) и η_i(v) [1], и найдем значения коэффициентов, входящих в определитель устойчивости D.

r₁₁Z₁ + r₁₂Z₂ + R_1p = 0

r₂₁Z₁ + r₂₂Z₂ + R_2p= 0

r₁₁ = 3(EJ_в/L_в) × φ₁(ν) + 4(EJ_н/L_н) × φ₂(ν)

Без учета жесткости подкрановой балки также составим канонические уравнения метода перемещений и определитель устойчивости D₁ с использованием критических параметров:

r₁₁ = 3(EJ_в/L_в) × φ₁(ν) + 4(EJ_н/L_н) × φ₂(ν)

После решения определителей устойчивости D и D₁ и нахождения критических сил по критическому параметру был использован запрограммированный циклический алгоритм в программном комплексе Mathcad.

Для решения сложного нелинейного уравнения устойчивости при раскрытии определителя D в программном комплексе Mathcad находились корни с помощью метода деления отрезка пополам (метод бисекции) – один из простейших методов нахождения корней нелинейных уравнений. Блок-схема итерационного метода представлена на рис. 8.

Для реализации дальнейших расчетов была составлена блок-схема, используемая в качестве алгоритма в программном комплексе Mathcad (рис. 9).

В результате были получены графики зависимостей коэффициентов приведенной длины от отношения критических сил, моментов инерции и площадей сечения (рис. 10–12).

Проведя анализ результатов по приведенным графикам и выполнив сравнение с традиционным методом расчета, при котором не учитывается жесткость подкрановой балки, было получено: увеличение критической силы F на 20 %, уменьшение момента инерции на 20 % и уменьшение площади сечения на 30 %.

Выводы

1. Критическая сила (см. рис. 10) при введении упругоподатливой опоры становится больше на 20 %.
2. При учете работы подкрановой балки в каркасе здания момент инерции уменьшился на 20 % (см. рис. 11), так как коэффициент приведенной длины прямо пропорционален площади и обратно пропорционален критической силе.
3. Площадь сечения при прочих фиксированных величинах уменьшается на 30 % (см. рис. 12).