Численное моделирование сейсмоизолированных зданий с фрикционно-маятниковыми опорами

Фрикционно-маятниковые опоры (ФМО) (или маятниковые скользящие опоры) в зависимости от конструктивных решений подразделяются на опоры: с одной сферической поверхностью скольжения – одномаятниковые скользящие опоры; с двумя сферическими поверхностями скольжения – двухмаятниковые скользящие опоры; с четырьмя сферическими поверхностями скольжения – трехмаятниковые скользящие опоры. Фрикционные опоры называются маятниковыми скользящими, так как расположенная на них конструкция совершает колебания, подобные движениям математического маятника при наличии трения. Маятниковые опоры изготавливают из нержавеющей стали, а их сферические поверхности имеют покрытия из материалов, обладающих заданными фрикционными свойствами [1–3]. Вопросы численного решения динамических задач и сейсмозащиты рассмотрены в работах [4–11].

Рассмотрим многоэтажное здание с сейсмоизоляцией при сейсмическом воздействии. В качестве сейсмозоляции используются маятниковые скользящие опоры. Динамическая модель исследуемого объекта, которая состоит из n сосредоточенных масс, представлена на рис. 1а. Одномаятниковая скользящая опора состоит из двух горизонтальных плит, одна из которых имеет сферическую вогнутую поверхность и расположена между плитами сферического шарнирного ползуна (рис. 2а). Особенности поведения и сейсмоизолирующие свойства одномаятниковой скользящей опоры зависят от радиуса кривизны сферической поверхности R и значения коэффициента трения скольжения μ ползуна по сферической поверхности (рис. 2б). Как следует из статического равновесия сил, действующих и возникающих в процессе скольжения по сферической поверхности,

F = F_Tcosα + F_N sinα, (1)

Q = F_Ncosα – F_T sinα, (2)

sinα = u₁/R, cosα = (R – δ)/R = 1 – δ/R,

где F, Q – горизонтальная и вертикальная силы, действующие на фрикционную опору;

F_T , F_N – тангенциальная и нормальная силы, действующие на ползунок скольжения;

R – радиус сферической поверхности.

Тангенциальная сила как сила трения выражается через нормальную силу

F_T = μF_N , (3)

где μ – коэффициент трения.

Из (1) и (2) с учетом (3) получаем

F = F_N(μcosα + sinα), Q = F_N(cosα – μsinα),

(4)

Из-за малости угла α можно предположить, что cosα – μsinα ≈ 1, тогда уравнение (4) можно представить в виде

F = Q(sinα + μcosα) = Q(u₁/R + μcosα) = k_h u₁ + Qμcosα, (5)

F/Q = u₁/R + μcosα,

где k_h = k₁ = Q/R – коэффициент горизонтальной жесткости ФМО;

Q, M – вес и масса суперструктуры: Q = M × g, M = m₁ + m₂ + ... + m_n;

g – ускорение свободного падения.

Из (5) следует, что при R → ∞ и α → 0 горизонтальная сила F = μQ, что соответствует силе трения в обычной скользящей опоре.

Далее рассмотрим расчетную модель многоэтажного здания со скользящими одномаятниковыми опорами (рис. 1). В случае сейсмического воздействия, в момент времени t здание перемещается на величину u₀, а за счет скольжения опоры перемещается еще на величину u_b = u₁, и только после этого оно деформируется (рис. 1а). Уравнение движения такой системы можно получить исходя из основной системы метода перемещений (рис. 1б). Систему уравнений движения можно получить исходя из равновесия каждой массы.

Уравнение динамического равновесия опорной массы здания m_b = m₁ (рис. 1в), с учетом затухания, представляется в виде

Если предположить, что жесткости вертикальных элементов динамической модели здания стремятся к бесконечности, где относительные перемещения u₂ = u₃ = ... = u_n = 0, то задача сводится к рассмотрению уравнения

которое описывает движения абсолютно жесткого тела, установленного на фрикционно-маятниковых опорах.

Систему уравнений (11)–(13) можно представить в матричной форме

(14)

где M = diag(m₁, m₂, ..., m_n) – диагональная матрица масс;

I – единичный вектор влияния;

C – матрица затухания.

Матрица жесткости и векторы перемещений, скоростей и ускорений представляются в виде

(15)

Матрицу затухания в (14), соответствующей верхней части здания в первом приближении, можно принять пропорционально матрице масс

C = diag(m₂, m₃, ..., m_n) × a,

где a – коэффициент пропорциональности.

С целью численного моделирования задачи по расчету сейсмоизолированного здания с одномаятниковыми скользящими опорами используем метод последовательных аппроксимаций [2][3], в котором скорость и ускорения, соответствующие моменту времени t_n, представляются в виде

, (16)

, (17)

n = 1, 2, ..., N,

здесь τ_n – шаг интегрирования на отрезке времени [t_n–1,t_n];

α_j, β_j – коэффициенты аппроксимации [3–6].

Подставляя (16) и (17) в (11), получим

здесь

Проведя аналогичную процедуру к уравнению (12), получаем

– a_j,i–1u_j–1,n + a_jju_j,n – a_jj+1u_j+1 = m_j × us_j,n–1 + c_j × sk_j,n–1 – m_j(ü₀+ü₁),(20)

здесь

j = 2, 3, ..., n – 1.

Дифференциальное уравнение (13) с использованием аппроксимирующих формул (16) и (17) приводится к следующему виду

– a_nn–1u_n–1,n + a_n,nu_n,n = m_n × us_n,n–1 + c_n × sk_n,n–1 – m_n(ü₀+ü₁),(21)

где

Полученные алгебраические уравнения (19)–(21) можно представить в матричной форме:

AU = B, (22)

(23)

Система алгебраических уравнений (22) решается на каждом шаге по времени. Видно, что матрица A является ленточной, поэтому для ее решения можно использовать итерационный метод Зейделя.

Пример

Исследование динамической модели здания от действия мгновенного импульса. В качестве примера рассматривается 10-этажное каркасное здание со следующими геометрическими данными: размеры в плане – 18 × 36 м; сетка колонн – 6 × 6 м: высота этажа – 3 м, высота здания – 30 м. На опорной части здания установлены 28 фрикционно-маятниковых опор. Суммарная масса и суммарный вес здания соответственно равны:

M = 9 × 51,79 + 2 × 49,12 = 564,35 тс˖с²/м, Q = M × 9,81 = 5536,27 тс.

Изгибная жесткость и коэффициенты жесткости стоек и фрикционной опоры соответственно равны

где R – радиус сферической поверхности опоры; N_k = 28 – количество опор.

На основе изложенной математической модели разработаны алгоритм и компьютерная программа FPB-1 (Friction pendulum bearings) и получены результаты для модели здания М1 – без сейсмоизоляции и модели М2 – с фрикционными опорами. Результаты для М2 получены при μ = 0,1, R = 5 м, ξ = 0,02 и при шаге численного интегрирования τ = 0,01 с. С целью анализа сходимости и точности результатов были проведены численные эксперименты при различных значениях шага по времени.

На рис. 3 приведены графики перемещения масс m₁ (кривая 2) и m₁₀ (кривая 1) модели М1, а также опорной массы m_b = m₁ (кривая 4) и массы m₁₁ (кривая 3) модели М2. В табл. 1 приведены максимальные значения опрокидывающего момента и поперечной силы в опорной части, а также максимальные значения перемещения, скорости и ускорения, соответствующие массе перекрытия.

Сравнение результатов показывает, что применение сейсмоизоляции в виде фрикционно-маятниковых опор (модель М2) приводит к значительному уменьшению внутренних усилий в опорной части, а также к уменьшению скорости и ускорения в верхней части здания по сравнению с моделью М1. При этом несколько увеличиваются перемещения как в нижней, так и верхней частях исследуемого объекта.

Вывод

Разработаны математическая модель и алгоритм расчета, которые позволяют исследовать сейсмоизолированные здания при различных воздействиях, в том числе сейсмических в виде заданной акселерограммы землетрясения. В результате численного моделирования динамической задачи здания с применением метода последовательных аппроксимаций разработана компьютерная программа и получены результаты, которые сопоставлены с данными аналогичной модели без сейсмозащиты. Применение сейсмоизоляции в виде фрикционно-маятниковых опор приводит к значительному уменьшению внутренних усилий в сечениях исследуемого объекта по сравнению с аналогичным объектом без сейсмоизоляции.